Равномерная непрерывность и ее приложения, зачем и где она используется?
На первом курсе определили равномерную непрерывность, но не понимаю, зачем и где она используется. Можно привести примеры прикладных задач, связанных с равномерной непрерывностью?
МатематикаДомашние заданияМатематический анализ
Это надо прочувствовать определение, когда в области определения непрерывная функция меняется несильно, с ограниченной производной,
например, −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀ x ∈ ℝ (−∞ < x < ∞).
Математик-теоретик, занимаюсь исследованиями в области дифференциальных уравнений с запазд... · 4 нояб 2021
Спасибо за интересный вопрос!
Если функция равномерно непрерывна на интервале (a,b), то её можно продолжить по непрерывности на [a,b], причём единственным образом.
Например, функция f(x)=x*sin(1/x²) является равномерно непрерывной на интервале (0,1), поэтому можно положить f(0)=0. А функцию g(x)=sin(1/x) в нуле нельзя определить по непрерывности, потому что функция... Читать далее
Openstack DevOps and IBM/Informix Certified DBA . Phd in Math (Duality of spaces of... · 4 нояб 2021
Равномерная непрерывность
Теорема о равномерной непрерывности (Кантора — Гейне): функция, непрерывная на замкнутом конечном промежутке (или на любом компакте), равномерно непрерывна на нём. При этом, если замкнутый конечный промежуток заменить на открытый, функция может не оказаться равномерно непрерывной.
Функция f(x) = 1/x не будет на [0,1] равномерно непрерывна... Читать далее
вопрос не в том, что такое равномерная непрерывность, а в том, что нам дает знание того, что функция равномерно непрерывна
Помимо прикладных задач, связанных с равномерной непрерывностью, существует важная область топологии - равномерные пространства. Каждое такое пространство является топологическим, но не обратно. Равномерные пространства - обобщение метрических пространств в той части, которая не связана с конкретным видом метрики.
Вот использование равномерной непрерывности для функции одной переменной как-то так сразу и не вспоминается. Но зато в функциях многих переменных равномерная сходимость (очень близкое понятие) используется для обоснования возможности изменять порядок интегрирования в кратных интегралах, а это сильно упрощает жизнь во многих случаях
1 эксперт согласен
Михаил Мулюков
4 ноября 2021подтверждает
В качестве примера можно привести задачу из книги В.Босса "Анализ":
Определим функцию z=f(x,y) следующим образом:... Читать дальше