Казалось, если школьник заинтересовался этой формулой, то объяснять необходимо с мнимой единицы. А дальше однозначно через формальные ряды. В свою очередь формальные ряды необходимо объяснять как решение дифференциального уравнения, но для этого необходимо дать понятие производной степенной функции, которая легко показывается через формулу бинома Ньютона.
В любом случае необходимо объяснять как есть, а не пытаться объяснить на пальцах.
Если пытливый ум задал вопрос, то он готов воспринять новые знания и это будет путь в новую реальность.
Если экспонента это единственная функция производная которой равна самой функции, то тут, казалось, никак по другому не объяснишь, ровно как и синус есть производная косинуса и наоборот (с изменением знака), вместе они являются решением дифференциального уравнения второй степени.
Кроме того, сразу возникает понятие гильбертова пространства и обобщенных рядов Фурье, т.к. это позволяет сказать, что синус и косинус - это ортогональные функции, что наглядно видно из теоремы Пифагора.
В качестве примера базиса бесконечно мерного линейного пространства можно было бы привести доказательство основной теоремы арифметики о единственности представления натуральных чисел через произведение простых чисел (а здесь можно упомянуть и о второй знаменитой формуле Эйлера - произведение Эйлера).
Таким образом, мы приходим к необходимости начинать с линейной комбинации и линейной независимости. Базис линейного пространства, базис гильбертова пространства, представление функции обобщенным рядом Фурье. Два способа поиска коэффициентов ряда (как линейной комбинации степенных функций).
Следовательно, план объяснения следующий:
1) Необходимо начать с понятия полинома. Причем сразу указать, что полином это линейная комбинация степенных функций, каждая из которых входит в эту комбинацию со своим коэффициентом. Если перебрать всевозможные коэффициенты, то мы получим всевозможные полиномы.
2) Далее необходимо упомянуть, что если нам необходимо построить функцию, которая проходит через заданные точки, то наилучшим представлением такой функции будет полином. Причем через заданное количество точек можно провести единственный полином (пусть появляются вопросы, не страшно). Причем, чем лучше мы хотим приблизить функцию, тем больше точек мы должны задать и тем большей степени будет полином, т.е. тем больше будет коэффициентов в линейной комбинации степенных функций.
3) Необходимо ввести понятие линейной независимости, т.е. коэффициенты в такой линейной комбинации никогда все не будут равны нулю, если функция не равна тождественно нулю (обратное определение).
4) Конечно, никуда не деться от скалярного произведения и понятия ортогональности линейных комбинаций.
5) Теперь обязательно необходимо обсудить понятие рациональной бесконечности, т.е. счетной бесконечности. И теперь никуда не деться от определения бесконечной линейной комбинации и гильбертова пространства.
6) Итогом первой части является понятие бесконечного ряда (линейной комбинации степенных функций), который задает единственную функцию, для которой мы задали бесконечное количество точек, через которые она проходит.
7) Только теперь необходимо дать понятие вещественного числа, и снова через линейную комбинацию рациональных чисел.
8) Понятие мнимой единицы следует дать как свойство функций двух вещественных переменных. Здесь мнимая единица возникает как ортогональный элемент обычной единице. А комплексные числа как линейная комбинация двух ортогональных функций двух вещественных переменных (понятно, что взрыв мозга, но пытливый ум выдержит, гарантирую).
9) Теперь мы можем перейти непосредственно к формуле Эйлера. Мы видим три функции, причем одна функция комплексного переменного выражается через две функции вещественной переменной. Где же здесь вещественные функции двух вещественных переменных? Вторая переменная равна нулю, т.е. в функции комплексной переменной вещественная часть тоже равна нулю. Но синус и косинус от этого не перестают быть ортогональными функциями вещественной переменной. Здесь следует не полениться и показать, что если добавить другую переменную (которая равна нулю) и применить формулы суммы углов, то мы получим множитель равный единице.
10) Теперь необходимо воспользоваться понятием ортогональности и четности функции, другими словами, если функция косинус четная, то она должна состоять из линейных комбинаций четных степеней, а функция синус, т.к. она является нечетной, то должна состоять из линейных комбинаций нечетных степеней. Мы получаем бесконечное скалярное произведение, которое по индукции равно нулю, а следовательно функции синуса и косинуса ортогональны, значит они могут представлять какую-то функцию комплексного переменного. Теперь осталось только выяснить какую.
11) Здесь, казалось, уже никуда не деться от понятия экспоненты, но вернемся к функции вещественной переменной. Мы можем представить ее в виде бесконечного ряда, т.е. бесконечной линейной комбинации степенных функций (п.6).
12) Очевидно, что при переходе от функции вещественной переменной к функции комплексного переменного необходимо просто подставить комплексную переменную в формальный бесконечный ряд (п.11), тогда каждая степенная функция со своим вещественным коэффициентом станет комплексной функцией переменной, причем вещественная часть каждой такой функции будет равна нулю, т.к. у нас в формуле только мнимая часть комплексного числа.
13) Оставшиеся мнимые части комплексных степенных функций становятся вещественными при четных степенях и мнимыми при нечетных степенях. Очевидно, что, не зная коэффициентов в этих линейных комбинациях, мы можем их приравнять. Причем, часть из них будут образовывать некоторую четную вещественную функцию, очевидно, что это будет косинус, а часть после вынесения мнимой единицы за скобки, вторую функцию вещественной переменной, очевидно, что это будет синус.
14) Только теперь необходимо давать сведения из анализа, т.е. понятие производной функции, рассказывать про предел, который вытекает из бинома Ньютона и дает рекуррентную формулу для производной степенной функции.
15) И наконец понятие экспоненты как функции, производная которой равна самой функции (т.е. решением дифференциального уравнения первого порядка), тогда будут понятны коэффициенты бесконечной линейной комбинации степенных функций, которая однозначно (п.2) определяет одну единственную функцию.
16) А ряды косинуса и синуса можно просто вычислять на промежутке -Пи, +Пи и показать, что получаются значения косинуса и синуса.
17) И наконец упомянуть, что косинус и синус являются решением другого дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Лапласа).
18) Бонусом может стать рассказ про предел сложных процентов, когда период уменьшается, но увеличивается количество периодов, но при этом уменьшается ставка процента.
PS