Как должна была бы вращаться вокруг Земли Луна, чтобы одна ее половина никогда не освещалась Солнцем?

Фактически Луна обращается вокруг Солнца. Земля периодически "изгибает" ее орбиту в разные стороны

Изгиб незначителен, примерно в 400 раз меньше расстояния до Солнца. Т е условие такое же , период обращения вокруг оси должен быть равен орбитальному периоду.

Луна, в описанном вами случае, вращалась бы по очень сложной траектории, т.к. луна движется вокруг земли и, одновременно, вокруг солнца. При помощи, какой-то системы/оборудования необходимо было бы корректировать, постоянно, скорость вращения луны вокруг своей оси.

Никак не вращалось бы. Без энергии Солнца не было бы ни вращения Земли ни вращения Луны. Энергия Солнца единственная движущая сила вращения планет солнечной системы