Такие же, на мой взгляд, что и вообще все учёные.
Основная задача историка — рассказывать Историю.
В моём понимании.
То есть, как и в отношении всех других наук — делиться с обществом результатами своих исследований.
При этом он обязан говорить правду. То, что сам думает, проще говоря. Формально это в его гражданских обязанностях не прописано, но неявно подразумевается.
Как методы он использует в процессе исследования и насколько его правда "мифологична" — вопрос его образования.
Уровень развития истории как науки тоже важен, однако тут общество не может многого требовать. Практически это личное дело самих историков.
Что общество может — это указывать историкам на наиболее актуальные в настоящее время исторические вопросы. По мнению общества или кто там его на данный момент представляет.
Стоит ещё добавить, что в наше время историк практически обязан рассказывать Историю интересно. Иначе он рискует быть заменён сериалами.