Кому принадлежала идея первой в мире железной дороги? Насколько быстро поезда стали распространенным видом транспорта?

Зависит от того, что понимать под "железной дорогой". Потому что сама по себе идея рельсовой дороги весьма старая: например, рельсовый канатный подъёмник в австрийский замок Хоэнзальцбург построен на рубеже XV–XVI веков, а в целом идею можно проследить ещё во времена Античности.

Считаем ли мы железной дорогой то, что использовалось в шахтах или на заводах? Потому что, скажем, в России таковая появилась задолго до первой российской пассажирской — ещё в в 1788 году, в Петрозаводске, благодаря Карлу Карловичу Гаскойну.

В 1803 появилась уже рельсовая дорога общественного пользования — это Железная рельсовая дорога Сюррея в Англии, но тяга там осуществлялась лошадьми. Создал её инженер Уильям Джессоп. Через несколько лет Джон Блекинсоп создал паровой локомотив, но опять-таки для промышленных зада, хотя в принципе поезд на паровой тяге Ричард Тревитик создал раньше, с 1804 занимался этим.

Если подходить к определению совсем строго — то есть дорога общественного пользования, поезда ходят по расписанию и никакой гужевой тяги, только пар — то первым проектом будет L&MR между Манчестером и Ливерпулем, это 1830 год. Но как видите, особой новой идеи-то тут уже нет, железнодорожный транспорт к тому времени уже довольно давно развивался.

То есть нет такого вот прямо чёткого момента — появилась идея и тут же первую дорогу построили.

Насчёт скорости распространения — смотря где. Американцы с 1850 по конец XIX века добились в этом самый заметных успехов, у них в 1869 уже трансконтинентальная дорога появилась. Понятно, в чём дело — из-за бурного развития и огромных территорий США в этом деле особенно нуждались. В Англии железнодорожный транспорт получил развитую сеть и обрёл большое значение к середине XIX века, то есть также довольно быстро. В других странах процесс был, конечно, не настолько стремительным.