Когда начали появлятся национальные языки? Когда люди перестали массово пользоваться латинским языком и перешли на свои?

Roman, наверное, понял, что имелось в виду. Поэтому черкну от себя.

Вероятно, подразумевались национальные "литературные" языки - т.е, когда начинают массово вести документацию, и писать художественные произведения. Используя устоявшиеся правила и обороты.

Да, латынь долгое время доминировала, а простой народ в быту объяснялся на совершенно других языках, но как на разговорных. Но это не значит, что в Европе ничего не записывалось на повседневной речи - см. выше: записывалось, но зачастую слова передавались по-разному, не ставя во главе угла конкретный диалект. В отдельных областях у латыни вообще имелись серьёзные конкуренты. Скажем, для поэзии трубадуров и миннезингеров использовались живые - провансальский, старофранцузский и средневерхненемецкий. В некоторых "медвежьих углах" вроде Исландии, например, латынь не имела большого влияния. В Киевской/Древней Руси в основном использовался церковнославянский, но "Слово о полку Игореве"(если считать подлинным произведением) всё-таки написано на древнерусском.

Тогда действительно, во многом во время Возрождения, и ещё необходимо отметить роль Реформации (две эпохи пересекаются). Но не только.

Кое-где началось раньше. Данте Алигьери, Франческо Петрарка и Джованни Бокаччо писали на итальянском, а это ещё до официального "Возрождения" - т.н. "Проторенессанс". В Англии, (и это упомянул в комментарии к ответу А.Миллера) на английском писал Джеффри Чосер, а он творил в том же веке, что и упомянутые итальянцы.

Роль сыграли распространение книгопечатания и переводы Библии на национальные языки.

Но это, если брать страны Западной и Северной Европы. В Восточной литературные языки, как и устоявшиеся письменности складываются в XVIII-XIX веках. Это в дальнейшем даже дало некоторые преимущества. Скажем, польский, как использовавшийся язык независимого государства, сохранил многие архаичные нормы, уже не соответствующие живой речи, и не очень совершенную запись (несколько букв - один звук). Кроме него, другие крупные славянские языки, использующие латинский алфавит, используют чешско-хорватскую систему. Также вновь создаваемые национальные литературные языки старались максимально приблизить к народным говорам и очистить от иностранных заимствований.

Ещё, в тех странах, что были православными, роль латыни выполняли церковнославянский или греческий. Интересная ситуация вышла с сербским. В конце XVIII-начале XIX какое-то время использовался т.н. славяносербский - язык, достаточно сильно отличавшийся от простонародного, представляющий некую смесь сербского, церковнославянского и русского. Но реформа Вука Караджича развернула ситуацию, и с тех пор национальный и литературный сербский язык - тот что основан на штокавском диалекте сербскохорватского надъязыкового койне; использует в кириллической "вуковице" и латинской "гаевице" (она же у хорватов и боснийцев) принцип "пишу как слышу".

Говоря про русский, стоит отметить уже упомянутое выше влияние церковнославянского. На разговорном в XVII появляются произведения не слишком "высокого" жанра, такие, как плутовская "Повесть о Фроле Скобееве" - её, в принципе, можно читать без перевода. В следующем веке русский выходит на первый план, но ряд литераторов ещё предпочитает вводить множество архаичных и церковнославянских оборотов, так что "Путешествие из Петербурга в Москву" А.Н.Радищева осваивать гораздо сложнее чем упомянутую повесть. Большую роль в упорядочении норм русского литературного языка сыграл М.В.Ломоносов. Устаканившийся вариант русского литературного языка, который можно было бы назвать и национальным, сложился в начале XIX века, в эпоху А.С.Пушкина.

В 17-19 веке. Латинский тоже тогда и появился. А ещё раньше было 2 языка, русский и арабский, причём арабский это во многом русский прочитанный наоборот.