Как вывести формулу момента инерции толстостенного кольца? Именно вывести, сама формула ясна.

Момент инерции любого тела по определению - это сумма всех масс помноженных на квадрат расстояния до оси.

Представим толстостенное кольцо

У него есть внутренний диаметр R1, внешний диаметр R2, толщина H, плотность p. Мысленно разрежем наше кольцо на тонкие кольца (выделено красным) радиусом R, толщиной dR и высотой H.

Масса такого тонкого кольца радиуса R будет равна dm= p*dV=p*2*П*R*H*dR

Момент инерции такого тонкого кольца найдем из верхней формулы, учитывая, что R тонкого кольца постоянно dI=R^2*dm. Подставляем наше dm и получаем dI=2*П*р*H*R^3*dR

Теперь всё суммируем, интегрируем:

Вспоминаем чему равен объем кольца V=П*(R2^2-R1^2)*H. Следовательно масса m=р*V=П*р*(R2^2-R1^2)*H. В место выделенное синим прямоугольником подставляем m и получаем

Ну как... по определению момента инерции для не точечного тела

J = int r^2 d m

для толстого кольца будет один простой интеграл по dr

При помощью интегрирования по пространству, в цилиндрических или полярных координатах. Кольцо разбивается на бесконечно-малые элементы, моменты инерции которых есть моменты инерции материальных точек, которые потом суммируются.