При таких обстоятельствах («…брат не платит за коммунальные услуги…вот уже третий год…») у вашей мамы имеется законное право обратиться в суд по месту жительства с исковым заявлением о взыскания со старшего брата половины суммы оплаченных по счетам за коммунальные услуги на протяжении трех лет (срок исковой давности).
Что касается выселения, то данное действие не представляется возможным, так как ваш брат зарегистрирован по месту проживания вашей мамы и постоянно там проживает.
К сведению: "Жилищный кодекс Российской Федерации" от 29.12.2004 N 188-ФЗ (ред. от 28.06.2021) (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.07.2021)
Статья 31. Права и обязанности граждан, проживающих совместно с собственником в принадлежащем ему жилом помещении
- К членам семьи собственника жилого помещения относятся проживающие совместно с данным собственником в принадлежащем ему жилом помещении его … дети …
- Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи собственника жилого помещения несут солидарную с собственником ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования данным жилым помещением, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи.