Здравствуйте!
Теоретически не может, исходя из требований п. 1 ст. 57 ГПК РФ:
Доказательства представляются лицами, участвующими в деле....
Суд вправе предложить лицам, участвующим в деле, представить дополнительные доказательства. В случае, если представление необходимых доказательств для этих лиц затруднительно, суд по их ходатайству оказывает содействие в собирании и истребовании доказательств.
Кстати, недавний Пленум ВС РФ обратил на это внимание:
ПЛЕНУМ ВЕРХОВНОГО СУДА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПОСТАНОВЛЕНИЕ
от 23 декабря 2021 г. N 46
О ПРИМЕНЕНИИ АРБИТРАЖНОГО ПРОЦЕССУАЛЬНОГО КОДЕКСА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРИ РАССМОТРЕНИИ ДЕЛ В СУДЕ ПЕРВОЙ ИНСТАНЦИИ
"В силу принципов равноправия и состязательности сторон арбитражный суд не вправе принимать на себя выполнение процессуальных функций сторон спора, не вправе своими действиями ставить какую-либо из сторон в преимущественное положение, равно как и умалять права одной из сторон."
Проявив на пустом месте инициативу в истребовании доказательства, суд проявил безграмотность, нарушил принцип диспозитивности сторон.
Это основание для жалобы на судью.
К сожалению, на практике полученное в результате этого судебного запроса доказательство вряд ли будет признано полученным незаконно. Хотя по сути это так и есть.
Сложно с этим бороться)))