Мне утверждают большинство людей, что дружбы между мужчиной и женщиной не существует. Существует ли она?

Добрый день, да конечно существует. Только в случае если:
а) они друг для друга сексуально непревлекательны
б) у них есть общие интересы
Если хоть 1 из пунктов нарушен, то кто-то просто ждёт удачного случая.

По своему опыту скажу, что существует. При учебе и работе преимущественно в женских коллективах неизбежно возникают взаимные симпатии, которые не всегда окрашены сексуальным подтекстом. Дружба ведь это эмоциональная привязанность, общие интересы, общая память, поддержка эмоциональная, а иногда материальная. По-моему, умение проявлять дружбу не зависит от пола друзей.

Думаю, да, дружба между мужчиной и женщиной возможна - в том случае, когда оба партнёра не рассматривают лиц противоположного пола как исключительно сексуальные объекты, а, когда они интересны им как личности.