При капиталистическом строе может быть режим демократии или диктатуры или другой. Также и при рабовладельческом строе может быть режим демократии или диктатуры или другой. Из этого понятно, что разница в том, что строй - это экономические отношения, а режим - это политические отношения.
Слово политический к строю в этом смысле не подходит. Можно условно привязаться к форме государственного устройства, как у Михаила, но, на мой скромный взгляд, большинство относит слово "строй" именно к экономическому строю.
Если отвечать кратко. Полит.строй-это,условно,как делится государство,а именно на унитарные(где нет суверенных образований)(Украина,Беларусь,Казахстан) и федеративные(где есть суверенные образования)(Россия,Германия,США). А полит.-режим-это как управляется государство. Например,демократия(Швеция) и автаритаризм/диктатура(КНДР).