В каждой из областей математики существуют аксиомы -- набор утверждений об объектах и их свойствах. Далее идет понятие модели -- конкретная придуманная "штука" из объектов и их свойств, удовлетворяющих аксиомам.
Моделей натуральных чисел много. Например, последовательность множеств (специально построенная), последовательности вида aN....а2а1, где ашки -- это цифры (то есть символы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), при этом первая ашка не 0.
Моделей действительных чисел также немало. Это прямая (геометрическая), последовательности aN....а2а1,b1b2..bK...... .(они конечны или бесконечны), додекиндовы сечения, и многие др.
В конкретной задаче выбирается наиболее удобная модель. Если Вам интересно определение действительных чисел, посмотрите здесь wikipedia.org в графе аксиоматический подход.