Если вкратце, то коммунизм – это предполагаемое будущее справедливое состояние общества, а социализм – политика, направленная на построение коммунизма.
А теперь пояснение. Идеи социальной (т.е. общественной) справедливости, построения такого общества высказывались с древности, но конечно не назывались ещё "социализмом". К XVI-XVII векам появился "утопический социализм": Томас Мор, Томазо Компанелло, Сен-Симон и т.п. – они писали рассказы про идеально устроенный город – и вот собственно Томас Мор назвал свою книжку "Утопия", точнее сначала назвал по-латински "Nesquama", что значит "Нигдения", имея в виду, что пока такого нигде нет, а потом лучше назвал по-гречески "утопия", что означает то же самое ("нигде-место"), а кроме того созвучно греческому "эутопия" ("хорошее, правильное место").
Но настоящую теоретическую базу под все эти идеи подвёл Маркс. Он рассуждал так: в древности люди совместно добывали всё, в чём нуждались, и распределяли справедливо по надобности. Потом научились выращивать и производить больше, появились запасы – а значит потребовалось как-то их распределять, то есть кто-то владеет запасами, хотя непосредственно их не производил. Кроме того, чтобы организовать сложную совместную деятельность, кто-то должен заниматься управлением (власть) и мотивацией (религия). И поскольку теперь у людей есть достаточно ресурсов, кто-то может быть освобождён от их добычи и заняться только управлением, наукой или искусством.
Фактически так появилось государство, но вместе с ним появилась и несправедливость в распределении – то есть, согласно Марксу, общество разделилось на класс эксплуатируемых и класс эксплуататоров. В те времена было модно учение о всеобщем прогрессе, зарождалась эволюционная теория в биологии – и Маркс тоже представил историю развития общества как последовательность общественно-экономических формаций (ОЭФ). Как и многие тогда, Маркс был под влиянием Гегеля с его диалектической логикой, поэтому расписал, как именно внутренние проблемы ("противоречия") одной формации автоматически приводят к её краху и становлению следующей формации. Он описал такие стадии: первобытная – рабовладельческая – феодальная – капиталистическая. В первой ещё не было государства, а потом государство появляется (как "инструмент классового угнетения"). С одной стороны хорошо, что люди, совершенствуя орудия труда ("средства производства"), всё больше производят ништяков, с другой стороны плохо, что рядовым людям всегда достаётся всего мало, даже если общий уровень свобод вроде как бы растёт от эпохи к эпохе.
А ещё была у Гегеля идея о том, что развитие идёт по триаде "тезис – антитезис – синтез", это значит, что из развития идеи вытекают противоречия, которые приводят к противоположной идее, но потом оказывается, что истина не в первой и не во второй, а в их объединении (синтезе). Это отдельная интересная тема, подробно сейчас не расписать. А здесь важно то, что Маркс увидел это и в развитии цивилизации: сначала не было ни технологий, ни государства – потом появление технологий вызвало появление государства и несправедливости – но затем дальнейшее развитие технологий может уничтожить необходимость в государстве и привести к обществу справедливости, только уже не на низком уровне благ, как в первобытном мире, а на базе технологического изобилия, когда благ столько, что достаточно всем, и нет нужды никого ни в чём ограничивать или заставлять. То есть, короче: сначала ни технологий, ни государства – потом государство и технологии – а потом технологии, но без государства. И вот эта последняя гипотетическая стадия развития общества в будущем и называется коммунизм (communis значит "общий, общинный", имеется в виду, что собственность на ресурсы и промышленность будет общественной).
И вот в качестве пятой ОЭФ Маркс и описывает коммунистическую стадию – а коммунистами предлагает назваться тем, кто готов преобразовывать общество в эту сторону. Кроме того, Маркс указывал, что на стыке формаций часто происходит социальное потрясение – революция – когда власть берёт новый правящий класс – стало быть и социалистическая революция должна произойти, когда ситуация созреет – когда власть наконец возьмут не очередные эксплуататоры, а те, кто сами производят всё общественное богатство – рабочие то есть. Кстати, Маркс считал, что это должно произойти только в промышленно развитых западных странах, и уж во всяком случае не в России или Китае, где подавляющее большинство населения тогда были крестьянами. Либо же это произойдёт, только когда капитализм разовьётся до своего предела во всём мире.
А вот социализм развивается примерно параллельно марксизму, появляются разного рода социалистические, социал-демократические и т.п. партии, частично они также черпали из марксизма, но отчасти были развитием и более старых идей о справедливости. Можно сказать, что коммунисты ближе к анархистам (поскольку отрицают государство) и в целом за более радикальные шаги, кардинальный слом формации, а социалисты – за ту или иную форму компромисса с реальностью и постепенное улучшение существующего строя.
В этом смысле имеет смысл соотношение социализма и коммунизма, как оно понимается в марксизме: коммунизм – это когда государство, деньги, частная собственность и т.п. упразднены, отменены; а социализм – это переходный период к коммунизму, когда государство ещё не исчезло, а напротив берёт на себя всё больше функций, регулирует экономику и способствует развитию людей.
А основные ценности у них примерно одинаковые: социальное равенство, равноправие и справедливость.