Что такое теорема Гёделя о неполноте и о полноте? Зачем она нужна?

Ну, любая математическая теория строится примерно по такой схеме. Сначала выделяют небольшой набор первичных утверждений, которые называются аксиомами и которые считаются по определению истинными. Потом придумывают правила, с помощью которых можно из одних истинных утверждений получить другие истинные утверждения (теоремы). Потом начинают из аксиом выводить теоремы. Делают это, конечно, не просто так, а с глубоким умыслом — некоторые теоремы оказываются очень полезными с практической точки зрения.

В качестве классического примера математической теории можно привести евклидову геометрию. У неё есть система аксиом (когда я учился в 6 классе, мы эти аксиомы проходили, а как сейчас — не знаю), есть правила доказательства теорем, основанные по большому счёту на обычной человеческой логике. Есть куча теорем, которые весьма полезны, например, при раскройке линолеума во время ремонта в квартире или при разметке садового участка.

Так вот, некий чувак по фамилии Гёдель доказал, что какую бы систему аксиом мы не придумали, в ней обязательно найдётся теорема, которую невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Тут, опять-таки, приведу два животрепещущих примера.

Вы, конечно, слышали старую историю про то, что в евклидовой геометрии есть «аксиома параллельных» (через любую точку можно провести только одну прямую, параллельную данной). Начиная с древних греков среди математиков существовали подозрения, что аксиома параллельных в действительности является теоремой, то есть её можно доказать, используя остальные аксиомы. Только в XIX веке былинный русский герой Лобачевский доказал, что это не так. Значит если бы в системе аксиом евклидовой геометрии отсутствовала аксиома параллельных, то аксиому параллельных можно было бы сформулировать в виде теоремы, и эта теорема оказалась бы недоказуемой и неопровергаемой, доказывая правоту Гёделя.

Собственно, из любой неизбыточной системы аксиом можно выбросить одну аксиому, и оставшаяся система аксиом окажется неполной, в ней выброшенная аксиома окажется недоказуемой и неопровергаемой теоремой.

Фишка в том, что если эту недоказуемую и неопровергаемую теорему добавить в систему аксиом в качестве новой аксиомы, то полученная система аксиом всё равно, согласно Гёделю, останется неполной, в ней опять можно будет сформулировать недоказуемую и неопровергаемую теорему. Какую именно — фих знает. Я, например, не знаю примера недоказуемой теоремы в евклидовой геометрии, но она точно есть :~).

Ещё один пример недоказуемых и неопровергаемых теорем — это так называемые «логические парадоксы». Ну, это фразы типа «данное высказывание ложно». Или когда житель Хацапетовки говорит вам: «Жители Хацапетовки всегда лгут». О таких фразах невозможно сказать, истинны они или ложны, поскольку из их истинности следует их ложность и наоборот.

Логически парадоксальные утверждения обладают одной важной особенностью — они автореферентны, то есть ссылаются на самих себя, говорят что-то о самих себе, являются порочным кругом. И как следствие — не несут никакой содержательной информации и с практической точки зрения бессмысленны.

Доказательство теоремы Гёделя в явном виде даёт алгоритм построения теоремы, недоказуемой и неопровергаемой в данной системе аксиом. Казалось бы, бери этот алгоритм и применяй, например, к евклидовым аксиомам, и получишь недоказуемую теорему евклидовой геометрии. Но фигушки. В студенческие годы я убил несколько дней, пытаясь врубиться в довольно мутное доказательство теоремы Гёделя. И оказалось, что весь алгоритм сводится к построению автореферентного высказывания по типу логического парадокса. Иными словами, в любой системе аксиом можно придумать не имеющее содержательного значения бессмысленное автореферентное высказывание, которое невозможно ни доказать, не опровергнуть.

Таким образом, недоказуемые и неопровергаемые теоремы делятся на две категории:

1. «Честные» теоремы, которые несут содержательный смысл и достойны включения в систему аксиом в качестве «нормальной» аксиомы. Любая математическая теория в конце концов находит полный набор «честных» аксиом и становится нормальной полной теорией.

2. «Всякая залипень», которая всегда имеет место и которую всегда можно получить с помощью гёделевского алгоритма, но смысла в этом нет, поскольку ничего содержательного эти теоремы из себя не представляют.

Так что стоны и охи математиков по поводу принципиальной неполноты математики — это ПМЛМ какое-то помутнение разума. Может быть для математиков формальные моменты, даже такие, имеют принципиальное значение, но инженер или «естественник», который применяет математику для каких-то практических нужд, может рассматривать теорему Гёделя просто как забавный курьёз.

P.S. Последний абзац — это моё сугубо личное мнение. Могу быть неправ, даже уверен, что многие диванные и реальные специалисты сочтут меня неправым. Буду рад, если кто-нибудь кинет идею, которая меня разубедит.