Для чего был изобретен интеграл и дифференциал, какое математическое действие лежит в их основе и их значение для естественных и технических наук?

Одной из первых больших и сложных задач, которые оказалось невозможно решить без нового аппарата была задача о брахистохроне, которую можно сформулировать так: как формы должна быть ледяная горка, чтобы по ней материальная точка скатывалась за минимально время. Удивительно, но решением оказывается не что-то ожидаемое типа дуги окружности или прямой, а дуга циклоиды. 

Саму задачу поставил один из представителей славного семейства Бернулли. Ну а решали её помимо его знаменитых родственников также Лопиталь, Лейбниц и Ньютон. Можно сказать, что именно из их работ дифференциальное и интегральное исчисление и родилось в современном виде. 

Почитать об этом можно например в статье В.М. Тихомирова, а более подробное и просто изложение, доступное школьникам, в его же книжке "Рассказы о максимумах и минимумах".

Интеграл - это Идея, а дифференциал - воплощение идеи на практике.  Сам процесс воплощения и его результат имеет обратное влияние на саму изначальную Идею, так Идея меняется. Вот так вот всё в нашем Мире и волнуется, колеблется, воюет и успокаивается, что бы потом опять Идеей изменений прийти к стабильному равновесию.  Всё равно!  

Производная это скорость мгновенная df/dt - точка в пространстве времени. Вы же смотрите на спидометр иногда? 

Интеграл это сумма бесконечно малых, которая выливается в полне конкретный объект. 

Зенон, черепаха и Ахиллес давно, но, Ньютон совсем все разрушил, когда изобрел дифференциальное исчисление. Оно сильно изменило мировосприятие и научило мыслить.