Зачем "попытки"? Квантовое волновое уравнение Клейна-Гордона для бесспиновой частицы и "дисперсионное уравнение" специальной теории относительности - по сути дела одно и то же. Просто в одном фигурируют энергия и компоненты импульса, а в другом соответствующие квантовые операторы.
Если же учитывать спин, то тоже одно выводится из другого, только в квантовом варианте приходится добавлять гамма-матрицы Дирака.