Выберите имя домена, и проверьте не занято ли оно. Сервисов для проверки много.
Выберите регистратора доменных имен. Можно ориентироваться по отзывам и популярности компаний, можно - по стоимости услуг.
Заполняете форму на сайте регистратора, и отправляете заявку. В принципе, все. Если нужны будут дополнительные данные, регистратор свяжется с вами дополнительно.