Мы можем пронумеровать все рациональные числа: то есть, каждому в соответствие поставить тот или иной индекс. Как это проверить? Очень просто. Запишем все рациональные числа вот так:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6...
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6...
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6...
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 5/6...
И т.д. Если нужно посчитать даже отрицательные и 0, можем начать ряд с 0/1 0/2 0/3 , а отрицательные записать сразу под соответствующими положительными. Сути это не меняет. Но для простоты примера ограничимся положительными рациональными. Начнем присваивать числам номера (внимательно следите за таблицей):
1 --> 1/1
2 --> 1/2
3 --> 2/2
4 --> 3/2
5 --> 3/1
6 --> 4/1
7 --> 4/2
8 --> 4/3
И т.д. Видите? Мы нумеруем все рациональные числа такой "змейкой".
Попутно это говорит нам о равномощности множеств натуральных и рациональных чисел: каждому рациональному числу мы можем сопоставить соответствующее натуральное.
А теперь представьте себе "плотно" и без разрывов идущую числовую прямую -- тот самый континуум, одну сплошную непрерывную прямую, состоящую из точек чисел. На этой прямой находятся и рациональные и действительные числа. Допустим, рациональные числа имеют какую-то длину (просто, допустим). Измерить мы её не можем, но можем оценить хотя бы очень грубо и приблизительно? Отложим от каждой точки рационального числа отрезок, заведомо больший "точки" рационального числа и её содержащий. То есть, вот так:
[_о_]
И зададим эти длины следующим образом: длина первого отрезка пусть будет 1 , второго -- 1/2 , третьего -- 1/4 и т.д. Как бы мы не делили отрезок пополам, он всегда будет больше точки рационального числа и точно будет её содержать.
Потом вырежем все эти отрезки из числовой прямой и сложим их вместе.
Общая длина всех отрезков, содержащих точки рациональных чисел, будет равна двум. То есть, если из числовой прямой выколоть все рациональные числа и собрать их вместе, то они гарантировано уместятся на отрезке от 0 до 2.
Конечно, так работать не вполне верно и это не строго академический подход, но этот мысленный эксперимент помогает оценить несоизмеримую разницу между счетным множеством и континуумом.
Рациональные числа являются счетным и бесконечным множеством, а иррациональные не являются таковыми, т. е. оно бесконечно, но несчетно. Именно их открытие обусловило создание множества действительных чисел. Из-за того, что рациональные числа счетны, а иррациональные нет, вторых будет больше чем первых.