Можно ли открутить шуруп, если шлицы полностью сорваны?

Конечно можно! Инструмент называется экстрактор. Внешне представляет собой нечто среднее между битой для шуруповерта и небольшим сверлом. Принцип работы весьма прост: инструмент делается из твердого металла, что позволяет вкрутить или вбить экстрактор в тело шурупа, и потом выкрутить с ним вместе. Существуют три типа экстракторов:

• клиновидные, которые забиваются молотком или киянкой в застрявшую деталь, в которой предварительно было высверлено отверстие;
• стержневые, которые также забиваются в деталь, но ещё и заклиниваются в детали;
• спиральные (или винтовые), которые вкручиваются в деталь. Затем заклиниваются и извлекаются вместе с деталью.
  Самыми популярными и, на мой взгляд, удобными являются спиральные. С клиновыми и стержневыми ни разу не сталкивался. Мне кажется, они имеют некоторые сложности с последующим извлечением экстрактора из самого изделия. 

Также стоит отметить тот факт, что приобретать их лучше сразу в наборе, ибо неизвестно зачастую, какого диаметра понадобится экстрактор. И ещё, спиральные экстракторы различаются по направлению резьбы шурупа: для извлечения шурупа с правой (или левой) резьбой, необходим соответствующий экстрактор.

Более подробно о них не составит труда найти в интернете.

p.s. Не советую заказывать экстракторы с Алиэкспресс, т.к. качество металла там оставляет желать лучшего, а в экстракторах, несомненно, это важнейшее качество.