Можно ли вручную выписать квитанцию или чек об оплате услуги/товара, которая будет по закону равна напечатанной?

Добрый день!

Нет, так делать нельзя. Дело в том, что в настоящий момент кассовые чеки должны быть не только оформлены на бумаге, но и отправлены в налоговую через оператора фискальных данных. Собственно, поэтому кассы и называются "онлайн-кассы" ) . Так что если вы хотите именно формировать чеки - требуется приобрести и зарегистрировать в налоговой кассовый аппарат.

Самозанятые при этом работают без кассы. Скачиваете и устанавливаете приложение для самозанятых. "Мой налог" называется, если не ошибаюсь. И там записываете сумму, полученную от клиента. В приложении формируется фискальный документ, который вы можете отправить клиенту на эл.почту, в мессенджер и тд. Этот документ приравнивается к фискальному чеку с ККТ. 

Самозанятый обязан сформировать чек в приложении "Мой налог",  никакие квитанции или расписки не могут быть альтернативой.

Вы можете выписать что угодно. Но с точки зрения закона этот документ чеком являться не будет. Чек - это документ, который подтверждает оплату товара с использованием контрольно кассовой техники или электронной системы расчетов.

В данной ситуации ваш чек этого не подтверждает. Поэтому чеком являться не будет. По сути это будет ваша расписка в получении денег за товар или услугу.

Как самозанятый вы ОБЯЗАНЫ сформировать электронный чек в приложении смартфона.

Здравствуйте, самозанятому не нужен терминал или касса для принятия оплаты. Оплату хоть наличную, хоть безналичную, вы вносите в приложение "мой налог". Там же и выписываете чек.
А ваш вариант - не годится)