Можно ли вручную выписать квитанцию или чек об оплате услуги/товара, которая будет по закону равна напечатанной?

Здравствуйте, самозанятому не нужен терминал или касса для принятия оплаты. Оплату хоть наличную, хоть безналичную, вы вносите в приложение "мой налог". Там же и выписываете чек.
А ваш вариант - не годится)

Самозанятый обязан сформировать чек в приложении "Мой налог",  никакие квитанции или расписки не могут быть альтернативой.

Вы можете выписать что угодно. Но с точки зрения закона этот документ чеком являться не будет. Чек - это документ, который подтверждает оплату товара с использованием контрольно кассовой техники или электронной системы расчетов.

В данной ситуации ваш чек этого не подтверждает. Поэтому чеком являться не будет. По сути это будет ваша расписка в получении денег за товар или услугу.

Как самозанятый вы ОБЯЗАНЫ сформировать электронный чек в приложении смартфона.