Есть несколько вариантов. Но самый простой в данный момент - это сделать свой профиль целиком и полностью приватным, дабы случайные люди, которые хотят зайти на страницу, не могли видеть информацию на ней. Для это нужно зайти в Настройки - Приватность - Тип профиля - Закрытый.
В таком случае "не друзья" не смогут видеть подарки. А для друзей в тех же Настройки - Приватность - Кто видит список моих подарков - Только я. Тогда никто другой не сможет узнать, кто и когда дарил пользователю подарки.
Также стоит помнить, что ненужный подарок можно просто удалить. Для этого заходим в список подарков и нажимаем на крестик.