В старофранцузском языке было слово tambour (тамбур), означавшее барабан. Если его часто и громко произносить, можно услышать звук барабана там-бур, там-бур. Маленькие барабаны стали называть тамбурин. Потом это название частично перешло на цилиндрические предметы и обтянутые кожей или тканью. Тамбур в архитектуре — проходное помещение на входе, тоже бывает похож на большой барабан. Пяльцы в английском языке (tambour), игольницы или пуфики во французском (tabouret). Так как табуреты часто были с круглым сиденьем (есть пуфики для иголок, и есть — для сидения), то это слово tabouret подошло и для такой мебели. Потом слово перешло в немецкий язык, а оттуда в русский. Последний слог -ка — это разговорная форма, позже добавленная. В следующий раз, когда будете садиться на табурет, вспомните как звучит французский барабан!
По Армянский "Тмбук" (похоже).