С какой целью Печорин вмешивается в роман Грушницкого и Мери? Как он сам это объясняет?

Ну, как он сам это объясняет, здесь уже написали. Печорин надевает на себя маску романтического героя и оправдывает себя ссылками на судьбу, рок, жестокость окружающих. Но если учитывать литературный первоисточник, а именно повесть Джона Полидори "Вампир" (1819 г.), к которому делает в тексте скрытые отсылки М.Ю. Лермонтов, станет ясно. до какой степени для Лермонтова Печорин - это отрицательный герой. Печорин - это "пороки нашего времения" пишет сам Лермонтов в предисловии. Многие воспринимают эти слова Лермонтова как уступку цензуре. А между тем это совсем не так. Печорин и лорд Рутвен, вампир и главный герой повести Полидори ведут себя одинаково. Они лгут, манипулируют, предают и губят людей вокруг себя. Это видно и в "Герое нашего времени". Погибает Бэла, разрушается быт и жизнь "мирных контрабандистов", навеки опозорена Вера (её жизнь навсегда разрушена), убит Грушницкий (при этом Печорин намеренно доводит его до состояния бешеной ненависти перед смертью, как будто хочет наверняка не только убить противника. но еще и отправить его в ад), опозорена княжна Мэри (девушка, от которой отказались, вряд ли когда-то выйдет замуж). Печорин всюду и во всех пытается возбуждать ненависть к себе. отталкивать людей от себя, а потом жалуется на судьбу и страдает. Он - вампир, живущий отраженными эмоциями людей, ему скучно жить без этого, он возможно давно бы покончил с жизнью (нашёл бы как это сделать). Ища и страстно желая любви, он фактически любит лишь самого себя. По сути Лермонтов в Печорине изобразил темную часть собственной личности, собственно изображение темной части собственной личности характерно для всего творчества поэта и писателя, можно вспомнить демона в "Демоне", можно вспомнить удалого опричника Кирибеевича в "Песне про царя Ивана Васильевича, молодого опричника и удалого купца Калашникова", Селим в "Ауле Бастунджи" и так далее. Просто Печорин как образ - это квинтэссенция всего злого, дурного, всего с чем поэт в себе видел и боролся и что его в итоге погубило. При этом в Печорине Лермонтов изображает "темного себя" без прикрас, без обычных для своего творчества романтических украшений или декораций в виде загадочного исламского Востока,  гор Кавказа, древней истории Руси.