Слово sini в финно-угорских языках это заимствование из русского? Или исконно финно-угорское слово, проникшее в русский язык?

Вы так ставите вопрос, как "или-или", будто всегда были некие изолированные "русский" и "финно-угорский", не имеющие общего и заимствующие друг от друга. В реальной истории были времена, когда ни индо-европейских, ни угорских языков не было вовсе, и было время, когда они складывались из слияния каких-то других языков.

То есть когда мы говорим "исконное слово", это значит его относительную древность – до которой мы не можем копнуть, но в прошлом не было такого одного момента, когда весь язык состоял бы из одних "чисто исконных слов", так можно говорить только с долей условности.

Индоевропейский и Уральский – практически наверняка связаны общим происхождением, хотя подробности их отношений пока ещё не совсем ясны. Насколько я понимаю про "синий", оно издревле фиксируется в обоих языках – следовательно, с хорошей вероятностью относится к общему праязыку. Либо с тем же успехом может быть древним заимствованием из ещё какого-то языка-предка. Возможное взаимодействие между языками разнообразно.

Одним из указаний, к какому праязыку относится слово, может быть его распространённость в родственных языках: в каком количестве индоевропейских есть корень "синь"? Насколько я понял, его находят в балто-славянских и древнеиндийском – то есть в принципе у народов той полосы, кто с уральцами близко взаимодействовал.

Ещё одним указанием, "к какой группе языков" какой-то корень ближе, может служить обилие в одном из языков однокоренных слов. Тогда в одном языке слово как бы объясняется через близкие понятия, а в другом нет. Можете назвать в русском или немецком длинный ряд, который по звучанию и по смыслу был бы близок к "синь"? Возможно, "тень" или "снег", "сиять", "сивый", "серый" – но за давностью тысяч лет такие созвучия могли далеко разойтись или потеряться, могли остаться в отдалённых языках: какие-нибудь санскрит, кельтский, хеттский – много ли слов из них вы знаете? Ср. литовские "шемас" (пепельный, серый), "шивас" (светлый), древнеарийское "чямас" (чёрный, ср. рус. "чумазый"), "Шива", и т.д. и т.п. – бывает, что неродственные слова случайно похожи, а родственные внешне похожи мало (как например лат. Lingua и нем. Zunge).

А может быть, в каких-то финских языках сохранился такой широкий куст значений корня "синь", что, знай мы его, говорили бы с уверенностью: о, да это точно финское слово. Но многие ли из нас пристойно знают венгерский, марийский, самоэдский? И даже если бы такой куст нашёлся, это всё ещё не твёрдое свидетельство, взаимодействие языков разнообразно и иногда неожиданно.

Подводя итог на основе тех скудных данных, которыми могу оперировать я: странно, что среди ИЕ-языков мы находим этот корень только в балто-арийском регионе: более вероятно, что слово ближе к уральскому праязыку. Либо оно сохранилось напрямую от древнего языка Белых людей (что не противоречит первому предположению, так как и уральский праязык к тому древнему при любом раскладе близок).

Неизвестно. Обозначение синего цвета настолько древнее (что неудивительно - небо над головой у всех народов одинаковое), что самые древние упоминания уже встречаются в обоих языках. Поэтому невозможно точно определить, кто у кого его заимствовал.

Может быть это не заимствование, а имеющее одно общее происхождение слово. Существует так называемая ностратическая теория, которая предполагает родство индоевропейских (в том числе славянских) и финно-угорских, а также других языков

Скорее всего, это заимствование из русского. Наглядный пример слово Синица. Оно есть во многих славянских языках. "Лучше синица в руке"... Синицы помогали древним людям найти места для выживания.