Это очень разные явления.
Само выражение "логический атомизм" принадлежит Бертрану Расселу, но также так часто называют метафизику и философию языка раннего Витгенштейна, изложенную в "Логико-философском трактате", из-за их поверхностного сходства. Центральная мысль логического атомизма это, в общем, идея того, что значение простых высказываний определяется соответствием с простыми фактами - "логическими атомами" - в мире. Каждой паре противоречащих высказываний соответствует один единственный факт. В логически совершенном языке атомические высказывания описывают комбинации логических атомов, а сложные высказывания это комбинации атомических высказываний. Однако высказывания логически несовершенных естественных языков маскируют это своей формой, поэтому нуждаются в анализе. Поверхностно философские системы Рассела и Витгенштейна очень похожи, но в них есть фундаментальные различия - о природе логических атомов и пропозиций, известное разногласие о "говорении и показывании" и др. - в которые долго углубляться.
Иногда логический атомизм упоминают вместе/путают с логицизмом - неудачной попыткой (в частности, Фреге и Рассела) доказать, что математика является разделом логики и разработать теорию, ставящую математику на основание логики.
Логический позитивизм это не конкретная философская система, а скорее движение, созданное двумя группами ученых - в Венском университете (Шлик, Карнап, Гедель и др. - т.н. Венский кружок) и Берлинском (Рейхенбах, Гемпель и др.) Среди прочего, на них значительно повлиял "Трактат" Витгенштейна, особенно идея "проясняющей" и отбрасывающей бессмысленные высказывания роли философии и строгого описания любого явления в мире с помощью языка формальной логики. В общем, цель логического позитивизма заключалась в создании "научной", опирающейся на формальную логику, философии. Из основных постулатов движения можно выделить верификационизм (точку зрения, что любое высказывание о мире имеет значение только если эмпирически проверяемо или логически необходимо), различие аналитических (истинных только в плоскости своего языкового значения, тавтологий) и синтетических (истинных в зависимости от того, соответствуют ли они опыту) высказываний, отрицание существования кантианских априорных синтетических высказываний, и эмпирический редукционизм (точку зрения, что любое высказывание о мире можно свести к высказыванию о своем непосредственном опыте). Высказывания, не соответствующие верификационизму, они пренебрежительно называли метафизикой, в чем можно увидеть иронию, потому что некоторые авторитетные исследователи Витгенштейна (например, Энтони Кенни) называют "Трактат" одной из самых метафизических работ в философии. С приходом к власти нацистов многие логические позитивисты бежали в США, и критически повлияли на развитие англо-американской аналитической философии, особенно философии науки. Но целом нельзя сказать, что их проект увенчался успехом, и позже центральные идеи логического позитивизма были раскритикованы Поппером (который сам некоторое время имел к ним онтошение), Квайном и др.