Я не буду долго пересказывать основные постулаты и определения, это можно найти в википедии и вообще в интернете, а коротко попытаюсь сформулировать в чем, на мой взгляд, разница между этими двумя вещами.
Логический позитивизм - это эпистемологическая методология, если хотите идеология познания, основанная на рационализме и логико-лингвистическом анализе, призванном вывести на чистую воду и элиминировать метафизические конструкции. И, таким образом, построить рациональную картину познаваемого мира, примерно соответствующую картине получаемой естественными науками. Эта была такая масштабная программа по переписыванию всей философии, которая оказалась в своем "сильном" варианте неосуществима, но в общем-то породила всю аналитическую философию.
Логический же атомизм - это одна из первых онтологических теорий, базирующихся на методологии логического позитивизма. Она основана на предположении, что всю "реальность" можно разложить на логические атомы. В первом варианте атомизма Б. Расселл предполагал два вида атомов - индивиды и свойства, потом пытался представить индивиды как сборку атомов свойств, ну и там разные были варианты. В общем он исходил из полной описываемости реальности логическим языком и фактически от описания событий реальности переходил к анализу событий языка. Его атомы сильно напоминают элементарные события в теории вероятности, ну и вообще математическую подготовку не пропьешь.
То есть, резюмируя: л. позитивизм - это методологическая программа, а л. атомизм - онтологическая теория (одна из), созданная на основе этой методологической программы.