Вели ли условные «карибские пираты» свою деятельность в Европе или, хотя бы, изредка грабили европейское побережье?
Вопрос не о каких-то берберах или бывших (будущих) каперах на службе в официальном флоте, а именно о пиратах, базирующихся (ведущих основную деятельность в Америке)
Как я понимаю, "условные карибские пираты" = пираты т.н. "золотого века", то есть от буканьеров и до устранения последствий Войны за испанское наследство (породившей кучу пиратов — каперы остались без работы). Следовательно, мы не можем упоминать того же Фрэнсиса Дрейка, Пита Питерсона Хайна или Хокинсов, что воевали как в Новом Свете, так и в Европе. Они определённо ещё не классические "карибские пираты", хотя в остальном подошли бы под указанное вами.
Если же говорить о "золотом веке" даже в самом широком его понимании, то тут мы уже такого не увидим. Как не увидим и мощный эскард времён Дрейка или Хайреддина Барбароссы какого-то. Те самый классические "карибские пираты" в жизни-то были куда менее интересны — обычно по несколько лет активной карьеры на одном-двух-трёх небольшим судах, и в Новое Время в Европе с такими силами ловить было уже нечего. "Золотой век" пиратства на Карибах (ну и в Тихом-Индийском океанах тоже) потому и случился, что власти в колониях были слабы, а желающих грабить — через край.
Возможно, есть какие-то отдельные примеры, которые я упускаю (всё же восемнаха уже не моя тема), но как сколь-нибудь существенная тенденция — нет. А уж тем более именно в самом "классическом" этапе "золотого века" — то есть уже после Войны за испанское наследство. Именно тот образ пиратов нам в масскульте показывают.
В семнадцатом веке османские пираты ещё представляли угрозу для Европы, несомненно — но они не ходили за пределы европейских побережий, уж тем более и Новый Свет. А то движение, что зарождалось по другую сторону океана, соответствовало условиям no peace beyond the line — там не было ни сил для действий в Европе, ни возможности потом добытое в ней сбывать. Даже людям типа Генри Моргана вольница была именно за океаном, это уже не XVI век — когда мало у кого из европейских держав был приличный флот.
Можно кое-как некоторых иудейских пиратов притянуть к заявленным условиям, но это в целом тоже немного другая эпоха.
Из истории ясно, что множество пиратов поддерживались османской империей против европейских государств. По этому, ответ на ваш вопрос - да, вели. Они приравнивались к армии у османов.