Восклицательным знаком в математике обозначают операцию «факториал». Вот как он работает для натуральных чисел:
1!= 1,
2!=2·1=2,
3!=3·2·1=6, ….
10!=10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=3 628 800…
Математики не любят приводить перечни или таблицы значений, ведь удобнее задавать зависимости гладкими функциями. Вот и придумали функцию, которая для натуральных чисел принимает значения факториалов, а для остальных функцию доопределили так, чтобы график был поглаже. Эту функцию называют Гамма-функцией, ее можно задать муторной формулой. Гамма функция чуть-чуть сдвинута по сравнению с факториалом:
Г(n+1)=n!=n·….·3·2·1.
А вот так выглядит ее график, если обобщить ее для всех чисел числовой прямой, а не только для натуральных:
Конечно, мы не можем определить ½! как произведение натуральных чисел до ½, но можем считать, что ½!=Г(3/2) – по аналогии с натуральными числами. После этого остается только вычислить Г(3/2) по формуле, как раз √(π/2) и получится.