Что такое теорема Гёделя о неполноте и о полноте? Зачем она нужна?

К концу XIX века математика уже очень сильно развилась, были построены анализ и алгебра, имелись важные результаты из теории чисел. Были созданы разные неевкидовы геометрии. Здание математики было высоким и красивым, но его основание было непрочным. Теория множеств и логика находились в зачаточном состоянии, а ведь на них должна опираться вся математика.

На рубеже XIX и XX веков Давид Гильберт поставил задачу перед математками всего мира: построить аксиоматику арифметики. К выбору аксиом надо было подойти очень ответственно. Из них должны выводиться привычные нам свойства чисел. Аксиомы не должны противоречить друг другу (это свойство аксиоматики называется непротиворечивостью). Аксиом должно быть достаточно, чтобы о любом утверждении можно было сказать, истинно оно или ложно (это свойство аксиоматики называется полнотой).

Непротиворечивость важна, ведь если ее не будет, то в теории найдутся утверждения одновременно истинные и ложные. Полнота тоже важна, потому что если ее не будет, то найдутся утверждения, о которых невозможно сказать, истинные они или ложные.

Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что любая непротиворечивая система аксиом арифметики неполна -- в любой найдутся неразрешимые утверждения.

В общем, математики научились с этим жить. Но время от времени, когда сталкиваются с особенно каверзным и неподатливым утверждением, начинают подозревать, что это оно, то самое и есть, -- которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Когда теорема Ферма еще не была доказана, то была кандидатом в такие утверждения.