Если такое огромное количество объектов во вселенной притягиваются в сторону великого аттрактора, то движется ли он сам и куда?

Двигаться можно только относительно чего-то. Относительно чего рассматриваем движение аттрактора? Самого аттрактора? Относительно себя он по условию неподвижен. Относительно Земли? Надо изменить скорость Земли относительно аттрактор и умножить её на -1, а нам известна лишь скорость относительно поверхности последнего рассеяния, НАПРАВЛЕННАЯ В СТОРОНУ аттрактора. Но он ведь может в той же системе двигаться в ту же сторону ещё быстрей, тогда от нас он удаляется, в ту же сторону. Аттрактор не идентифицирован, есть лишь направление на него. А любое изучения начинается с идентификации. И измерению скорости это тоже относится.

Сам по себе великий аттрактор является центром притяжения для сверхскопления Линиакея, в которое входит и наша галактика. Хотя наблюдение за великим аттрактором затруднено (его частично перекрывает плоскость Млечного Пути), считается, что он движется в сторону сверскопления Шепли (https://spacegid.com/velikiy-attraktor.html).