Дам скорее бытовой ответ на вопрос: да, конечно можете. В моей жизни было такое. Всё зависит от настроения правоохранителя и мотивов просьбы предъявить документ.
У Президента очень много полномочий, касающихся органов местного самоуправления, думы и т.д., но что касается "посадить любого человека" - юридически не может.
Зато может помиловать :)