Слева от нуля в качестве певообразной подходит любая функция вида
y = - x + C, где С - любая константа.
Справа от нуля годится любая функция вида
y = x + D, где D есть так же любая константа, причём её значение не зависит от значения, возможно ранее, выбранной константы С.
В нуле функция "сигнум":
разрывна по определению, при переходе от отрицательных к положительным значениям претерпевает разрыв первого рода - так называемый скачок или ступеньку, величина которой есть в точности 2. На сколь угодно малом расстоянии друг от друга: слева и, соответственно справа от нуля находятся отрицательные и, соответственно, положительные значения аргумента, функциональные значения в которых разнятся в точности на 2.
На самом деле интегрируя в смысле Римана нашу функцию сигнум от аргумента, претерпевающего единственный о конечный скачок в нуле, мы можем построить интеграл с переменным верхним пределом, фиксируя значение нижнего предела строго слева и, соответственно, строго справа от нуля. Который (построенный интеграл) и будет (одной из) нашей искомой первообразной. Полагаю, в самом общем смысле.
Определённой как функция верхнего предела на всей числовой оси, кроме, разумеется точки х (обозначение верхнего предела интеграции) = 0.
В эпсилон-окрестности 0 из сумм Дарбу стандартным предельным переходом при эпсилон стремящимся к 0 исключается "бесконечно-малый" прямоугольник, когда и справа и слева от нуля (значения х = 0) и минус эпсилон и плюс эпсилон одновременно (но, вообще говоря не синхронно, а как угодно! - Л.К.) стремятся к нулю.
Стандартное для функции сигнум доопределение в нуле (рабивающее "ступеньку", точнее, делящее длину "ступеньки" пополам) не нуждается в особых комментариях, как представляется отвечаюшему.
Л.К.