Среди математиков есть такое мнение: нет прикладной математики (как отдельной науки), а есть просто математика и ее приложения. Верно?

Было бы глупо запрещать термин (прикладная математика), используемый в профессиональном сообществе.

С другой стороны, критикуемая Вами точка зрения имеет право на существование - по следующим причинам.

Не берусь судить о том, как обстояли дела в случае с ИПМ им. М. В. Келдыша, но знаю, что профессиональные математики зачастую находятся под административным давлением и идут на несущественные для науки уступки (в том числе в части наименований).

Что касается остальных пунктов описательной части Вашего вопроса, то их можно было бы обсудить на конкретных примерах.

Я бы сказал, что верны обе точки зрения.

На уровне методологии нет отдельной дисциплины «прикладная математика». Математика – она целая. В ней всё настолько взаимосвязано, что выделить чёткие границы разделов невозможно. И главное связующее начало – единая методология. В других науках методы исследования в различных областях могут отличаться. В математике – не так. И это чудесно! Мне кажется, трудно быть хорошим прикладником, если не любишь «чистую» математику. Как говорится, нет ничего практичнее хорошей теории.

Однако постановка практических задач порой резко отличается от постановки теоретических задач математики. Если математик в данный момент занимается теоретическими исследованиями, то его может удовлетворить даже отрицательный результат, лишь бы удалось его доказать. Например, теорема Гёделя о неполноте – величайший отрицательный результат. А можно, не найдя решения данной задачи, изменить условия и попытаться решить новую. При решении же прикладной задачи отрицательный результат – это не результат. Нужно как-то выкрутиться. Заказчику не объяснишь, что постановка оказалась некорректной. Можно предложить менее точное решение, можно слегка ослабить (или, наоборот, усилить) ограничения, но задачу надо решить. И, желательно, в указанный срок.

Резюме. Задачи по характеру своей постановки могут быть теоретическими и прикладными. Однако методы исследования общие для всей математики.

Лет 40 назад я встретил прекрасную формулировку:

"Математики решают правильными методами задачи, которые могут.

Прикладные математики решают нужные задачи методами, которыми могут."

В математике могут быть правильные и неправильные решения. В прикладной математике решения могут быть достаточно или недостаточно точные.

Во время моей учебы в вузе было четкое разделение на специальности математика и прикладная математика. Математики в шутку называли приматами прикладников, но такая практика прекратилась, когда появилась специальность физика-прикладная математика и представители этой специальности приобрели наименование (у математиков) чистые приматы. Это конечно шутка, но если серьезно, то учебные планы этих специальностей очень серьезно различались. Более того, отличалось значительно и содержание одноименных курсов. После вуза конечно все перемешалось и чистые математики работали как прикладники и наоборот.

Любой кто познал программирование - скорее всего выделит его (и вполне значительные результаты в этой области) - как некий раздел ассоциированный с понятием прикладной математики. Тут у всех разные мнения - и все они конечно уважаемы и достойны. Я бы наверное выделил в математике два процесса, а не раздела - первый - это идеи (креатив), их поиск, осмысление, причина появления этой идеи и ее нужность. Второй блок - это уже переход от идеи - к ее оформлению во что-то - в теорему, в направление математики, в создание инструмента, способа, алгоритма. Порой, просто надо набранный банк идей, гипотез - причесать, отфильтровать, классифицировать. Слово - приложение - для меня прежде всего ассоциируется с компьютерным приложением (software application) - когда надо надо посчитать нечто, которое по началу - не очень "цифровой" природы... Прикладная математика без счета - наверное тоже есть - и ей есть место под солнцем. Пример - когда группа симметрий из чисто абстрактной математики нашла себе применение в классификации элементарных частиц - показывает видимо как одно превращается порой совершенно неожиданно в другое. Если неправ - прошу любезную публику меня поправить - буду признателен.

Конечно есть прикладная математика. Как пример - это устные приемы счета. Также в большинстве случаев прикладное использование подразумевает адекватное упрощение процесса расчета или даже заранее готовые таблицы и приёмы расчетов.