Первое побуждение, конечно, ответить, что независимо от стратегии Б вероятность правильного ответа для него будет 1/2. В самом деле, у него совершенно никакой информации о втором числе, какая тут вообще возможна "стратегия"? Очевидно, что вероятность выигрыша для него будет 1/2, что бы он ни делал: подбрасывал монетку, всегда отвечал "больше", всегда отвечал "меньше", или выдумывал более сложные критерии.
Это интуитивное очевидное соображение неверно.
Чтобы понять, почему вообще возможны какие-то стратегии, начнём с сильного упрощения. Допустим, откуда-то известно, что игрок А выбирает оба числа равновероятно случайным образом на отрезке [-100, 100]. В этом случае стратегия для Б выглядит вполне интуитивно понятной: если число, которое он открыл, меньше нуля, он ставит на то, что второе число больше первого; если число, которое он открыл, больше нуля, он ставит на то, что второе число меньше первого; если оно равно нулю, решает случайным образом. Легко видеть, что вероятность выигрыша в этом случае будет уже заметно выше одной второй, желающие могут посчитать, чему она будет равна.
Итак, осмысленная стратегия Б может иметь вид "сравним первое число с чем-то и в зависимости от этого сделаем выбор". Но просто сравнивать с нулем не получится. Например, может оказаться, что А всегда загадывает только отрицательные числа или только положительные; в этом случае вероятность выигрыша снова окажется равна 1/2.
Всё же можно заметить, что стратегия "сравним первое число с нулем и в зависимости от этого сделаем выбор" не так плоха: при некоторых действиях А она даёт результат лучше 1/2, при остальных ровно 1/2, и ни при каких действиях А не окажется хуже 1/2.
Мы почти подошли к разгадке. Если вы всё ещё хотите решить задачу самостоятельно, не читайте дальше.
Стратегия Б выглядит так:
- выберем константу c из стандартного нормального распределения (неважно, с какими параметрами, но для определенности с центром в 0 и дисперсией 1)
- как и сказано в условиях, откроем одно из чисел, записанных А, случайным образом
- сравним известное ему теперь число с константой с. Если оно больше с, то поставим на то, что второе число меньше первого. Если оно меньше с, то поставим на то, что второе число больше первого. Если они равны, то... то неважно, т.к. это событие с вероятностью 0
Докажем, что какие бы числа ни написал А, такая стратегия приведет Б к победе с вероятностью больше 1/2. Допустим, А написал числа a и b, a < b. Посчитаем вероятность победы Б в зависимости от того, какое число c оказалось результатом его выборки. Возможны три варианта расположения c на числовой оси:
1) c < a < b. В этом случае Б равновероятно откроет какое-то из чисел a или b и независимо от этого поставит на то, что скрытое число меньше и выиграет с вероятностью 1/2
2) a < b < c. В этом случае Б равновероятно откроет какое-то из чисел a или b и независимо от этого поставит на то, что скрытое число больше и выиграет с вероятностью 1/2
3) a < c < b. В этом случае вне зависимости от того, какое из чисел откроет Б, он поставит на правильный ответ и выиграет.
Поскольку Б выбирает значение константы из нормального распределения, вероятность третьего варианта всегда строго больше 0, а значит, общая вероятность его победы строго больше 1/2, и неважно, как действует А.