Теперь Кью работает в режиме чтения

Мы сохранили весь контент, но добавить что-то новое уже нельзя

Взрывающая мозг задача про вероятности (и нет, она не про Монти Холла).

А и Б играют в игру. Игрок А по секрету от Б пишет на двух клочках бумаги два различных числа. Игрок Б выбирает из них случайный и смотрит, какое число на нём написано. Игрок Б должен угадать, больше оно оставшегося числа или меньше.
Если Б подкинет монетку, он угадает с вероятностью 1/2. Существует ли стратегия для Б, позволяющая побеждать с вероятностью строго больше 1/2?
  · 19,2 K
Кандидат физ.-мат. наук, делаю Яндекс, увлекаюсь всем на свете  · 30 нояб 2021
Первое побуждение, конечно, ответить, что независимо от стратегии Б вероятность правильного ответа для него будет 1/2. В самом деле, у него совершенно никакой информации о втором числе, какая тут вообще возможна "стратегия"? Очевидно, что вероятность выигрыша для него будет 1/2, что бы он ни делал: подбрасывал монетку, всегда отвечал "больше", всегда отвечал "меньше", или выдумывал более сложные критерии.
Это интуитивное очевидное соображение неверно.
Чтобы понять, почему вообще возможны какие-то стратегии, начнём с сильного упрощения. Допустим, откуда-то известно, что игрок А выбирает оба числа равновероятно случайным образом на отрезке [-100, 100]. В этом случае стратегия для Б выглядит вполне интуитивно понятной: если число, которое он открыл, меньше нуля, он ставит на то, что второе число больше первого; если число, которое он открыл, больше нуля, он ставит на то, что второе число меньше первого; если оно равно нулю, решает случайным образом. Легко видеть, что вероятность выигрыша в этом случае будет уже заметно выше одной второй, желающие могут посчитать, чему она будет равна.
Итак, осмысленная стратегия Б может иметь вид "сравним первое число с чем-то и в зависимости от этого сделаем выбор". Но просто сравнивать с нулем не получится. Например, может оказаться, что А всегда загадывает только отрицательные числа или только положительные; в этом случае вероятность выигрыша снова окажется равна 1/2.
Всё же можно заметить, что стратегия "сравним первое число с нулем и в зависимости от этого сделаем выбор" не так плоха: при некоторых действиях А она даёт результат лучше 1/2, при остальных ровно 1/2, и ни при каких действиях А не окажется хуже 1/2.
Мы почти подошли к разгадке. Если вы всё ещё хотите решить задачу самостоятельно, не читайте дальше.
Стратегия Б выглядит так:
- выберем константу c из стандартного нормального распределения (неважно, с какими параметрами, но для определенности с центром в 0 и дисперсией 1)
- как и сказано в условиях, откроем одно из чисел, записанных А, случайным образом
- сравним известное ему теперь число с константой с. Если оно больше с, то поставим на то, что второе число меньше первого. Если оно меньше с, то поставим на то, что второе число больше первого. Если они равны, то... то неважно, т.к. это событие с вероятностью 0
Докажем, что какие бы числа ни написал А, такая стратегия приведет Б к победе с вероятностью больше 1/2. Допустим, А написал числа a и b, a < b. Посчитаем вероятность победы Б в зависимости от того, какое число c оказалось результатом его выборки. Возможны три варианта расположения c на числовой оси:
1) c < a < b. В этом случае Б равновероятно откроет какое-то из чисел a или b и независимо от этого поставит на то, что скрытое число меньше и выиграет с вероятностью 1/2
2) a < b < c. В этом случае Б равновероятно откроет какое-то из чисел a или b и независимо от этого поставит на то, что скрытое число больше и выиграет с вероятностью 1/2
3) a < c < b. В этом случае вне зависимости от того, какое из чисел откроет Б, он поставит на правильный ответ и выиграет.
Поскольку Б выбирает значение константы из нормального распределения, вероятность третьего варианта всегда строго больше 0, а значит, общая вероятность его победы строго больше 1/2, и неважно, как действует А.
Автор удалил комментарий
кандидат физико-математических наук, математик, исследователь, data scientist, предпринима...  · 2 дек 2021  · novikovlabs.ru
Здесь парадокс - что-то среднее между парадоксом Бертрана и парадоксом о двух конвертах. Пока у нас нет функции распределения говорить о каких-либо стратегиях бессмысленно. Как минимум вы должны определить какой носитель у распределения - натуральные, целые, дробные, алгебраические, все вещественные числа? Дальше, если вы искренне считаете, что если взять вещественную... Читать далее
так вот именно - равномерного распределения не существует, а для всех остальных решение работает
Сингулярист, любитель занимательной математики, распространитель идей  · 30 нояб 2021
Если игра однократная, то предположу - вероятность 1/2, (если, только например не заполнен весь клочок бумаги типа такого рода записью 9^9^9^9^9^9^9^9..... (это отчасти шутка)) - Всё же таки возможен математический и психологический или ещё какой там... анализ (ну это уже не математическая игра) Если бумажки показывают многократно, то задача напоминает "задачу о... Читать далее
Магистр физических наук (по специальности теоретическая физика). В настоящее время...  · 29 нояб 2021  · github.com/EmilPi
Конечно нет. Если числа на клочках действительно случайные.
Как ни удивительно, этот ответ неверный! Решение я некоторое время раскрывать не буду, подожду, не придумает ли... Читать дальше
младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе  · 29 нояб 2021  ·
astropolytech
Это известный парадокс из теории вероятностей - Задача о двух конвертах . Решение, которое обычно предлагают - математически некорректно. Все упирается в то, что невозможно задать равномерное распределения по всей оси. Поэтому на самом деле сначала нужно выяснить какое-же распределение у загадываемых чисел, а потом уже учитывать его неравномерность.
астрофизическое образованиеПерейти на vk.com/astropolytech
Нет, не совсем, хотя мотивы те же. Здесь ничего не сказано о том, что второе число вдвое больше или вдвое меньше... Читать дальше
Порядочный человек  · 3 дек 2021
Я понимаю, что задача математическая. Но все же хочу отметить, что при данных условиях, существует стратегия, позволяющая Б выиграть почти со 100% вероятностью. Она довольно банальна - закончить игру, как только окажется в выигрыше.
В разы более оригинальный ответ, чем предусмотрено математически. Есть 150%я выигрышная стратегия -не соглашаться... Читать дальше