Интеграл Лебега сильнее интеграла Римана в том смысле, что всякая интегрируемая по Риману функция интегрируема также и по Лебегу, и значения интегралов от неё равны. Обратное не всегда верно, есть специальные примеры типа функции Дирихле, у которой существует интеграл Лебега, но не Римана.
Впрочем, все такие примеры чисто теоретические и представляют интерес в первую очередь для специалистов по вещественному анализу и теории меры. В прикладной математике интеграл Лебега попросту не нужен: для вычисления интегралов от всех "нормальных" функций достаточно одного интеграла Римана.