В чем разница между интегралом Римана и интегралом Лебега и зачем нужен последний?

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Строго

Пример -Демостация отличия от Интеграла по Риману

Определение интеграла по Риману на [0,1] общеизвестно. Я давал его в одном из своих постов . См http://vm.tstu.tver.ru/topics/pdf_tests/rudin.pdf

Определение 6.2. См гл. 6 целиком

Глава 10 ( той же книги ) Теория меры и нтеграла Лебега.

Зачем нужен интеграл Лебега.

В 1933 г. акад. А.Н. Колмогоров дал строгое построение Теория Вероятностей на основе фундаментальных понятий ТФДП

==============================================

<<А. Н. Колмогоров под влиянием идей теории множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), позволившую описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.>>

Смотри https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0

Далее, Критерий интегрируемости функции по Риману в рамках ТФДП