Верно ли утверждение, что все первые университеты были тесно связаны с церковью/религией в целом?

Средневековый западный университет был типичным цехом или корпорацией, с условиями входа, финансового участия и собственным уставом. Но этот цех больше других городских цехов был похож на монастырь по образу жизни профессоров и студентов, кроме того, церковь была одним из заказчиков услуг университета, теологический факультет был обязателен в любом университете, наравне с юридическим и медицинским. Так что отношения церкви и университета двояки, это а) симбиоз, основанный на сходстве инстититутов, б) регулярное выполнение заказа. Иначе были устроены учебные заведения в исламском мире и Византии, где они существовали при религиозных учреждениях, как мечети, являвшиеся одновременно "домами знаний", или византийские придворные и церковные школы. 

Если Вы имеете в виду первые средневековые университеты Европы, то это так и было на самом деле. В каждом из этих университетов на философском факультете обязательно наличествовала кафедра богословия. Вообще для самого своего существования он был обязан получить благословение Святого Престола. Эти "рассадники культуры" находились под неусыпным оком Святейшей Инквизиции.

Самые древние университеты на Востоке, например, в Александрии, не были связаны с религией, эта связь образовалась в средние века в христианской Европе и мусульманской Азии потому, что церкви имели большое влияние в обществе и могли быть источником знаний.

Да это верно. Европейская наука зарождалась при монастырях и церквях. Но встав на ноги наука стала бороться с церковью за умы превратившись в богиню, культу которой поклоняются ученые.

Не могу точно ответить на ваш вопрос, но если рассуждать логически, то не думаю, что церковь заинтересована в образованности людей в целом.

Церковь, как структура, всегда шла с властью рядышком и была ближе к власти, чем к народу.