Если я буду логически доказывать сумасшедшему, что он – сумасшедший, есть ли вероятность, что он это поймёт?

Шансы есть, если в этот момент у человека ремиссия. Небольшие, но есть.
В прицнипе, история знает примеры когда во время ремиссиии люди сами по своей воле и своему решению обращались к психиатру.

Если же у человека обострение, то он ваши слова встроит в свой бред, ну или просто их отбросит.
В этом случае ничего полезного от такого доказательства не будет, ни для вас ни для того человека.

Коль удастся-стало быть не такой уж он сумасшедший-у него есть самокритика, он принимает доводы, готов к выводам которые ему не нравятся. С нормальными съехавшими такое не прокатывает