Если я буду логически доказывать сумасшедшему, что он – сумасшедший, есть ли вероятность, что он это поймёт?

Сумасшествие по своей сути - это алогичность, то есть способность трансформировать понятие взаимосвязи причин и следствий в соответствии с со своими текущими потребностями в  обосновании собственной правоты.
То есть, для сумасшедшего следствие может становиться причиной в тех случаях, когда ему это выгодно.
Как пример: "Этот человек оказался плохим потому, что я его ударил". На самом деле всё наоборот, но для сумасшедшего достаточно, что эти два факта взаимосвязаны - и значит, он прав.
Поэтому любую вашу логичность он переработает в доказательство собственной правоты, причём самым неожиданным для вас образом.
Единственные вопросы, которые стоит задавать сумасшедшему - так это "Где вы сейчас находитесь?", "Какое сейчас число и сколько времени?" и "Расскажите, как вы добились успеха и в чём вы были тогда правы?".
Любые логические построения, даваемые сумасшедшему для рассмотрения и основанные на них споры с ним не дадут ничего, кроме усугубления его состояния: он будет ещё глубже погружаться в безумие в попытках доказать, что ОН ПРАВ.
А в случае, когда ваша логика припрёт его к стенке, как бы мягка и безупречна она не была, у него возможен тяжёлый срыв, вплоть до попытки убить вас или себя - от эмоциональной безысходности.
Сталкиваясь со случаями сумасшествия в реальной жизни или в соцсетях, задавайте подобные вопросы, а при адекватных ответах на них в дальнейшем общении  игнорируйте проявления безумия, никак на них не реагируя и не подтверждая значимости для вас его безумия, и поддерживайте только нормальные реакции больного. Давайте ему больше возможности выговориться, используя эти приёмы.
Но никогда не подавляйте логикой! Так вы окончательно угробите человека.

Коль удастся-стало быть не такой уж он сумасшедший-у него есть самокритика, он принимает доводы, готов к выводам которые ему не нравятся. С нормальными съехавшими такое не прокатывает