Вообще-то гибель Солнца будет сопровождаться катастрофой вселенского масштаба. Сначала солнце раздуется до орбиты земли. При этом Венера и Меркурий упадут на Солнце и навсегда исчезнут. А сохранится ли при этом Земля, точного ответа пока нет. Но поверхность её раскалится до нескольких тысяч градусов. Затем Солнце потеряет часть своей массы и превратится в белый карлик, а как поведут себя планеты, тоже точного ответа нет. Однозначно они изменят орбиты, а некоторые улетят за пределы солнечной системы. Кроме того, в это время будет наблюдаться другая космическая катастрофа. Столкновение нашей Галактики с Галактикой Андромеда. Так что проблема выживания человечества очень сложна.
Солнце не погаснет, потому что оно -точка концентрации СВЕТА сознания и разума. Пока будет жив хоть один человек, будет светить и Солнце. Так что беспокоится не о чем.
На эту тему есть замечательный фантастический роман Бегство Земли Франсиса Корсака. Советую.
P.S. Удивительно то, что этот французский автор, бывший очень популярным в СССР на английский язык не переводился и соответственно англоязычным читателям почти не известен.