Если Солнце погаснет, то сможет ли человечество выжить? Каким образом?

Если бы внезапно исчезло Солнце, то уже через сутки температура поверхности планеты упадет до -40..60 °С. После того, как вся влага из атмосферы будет выморожена, потеря тепла многократно ускорится и охлаждение поверхности и атмосферы до температуры конденсации азота произойдет буквально за несколько суток. Это приведет к почти полной потере атмосферы, так как она просто конденсируется. В подземных убежищах положительная температура сохранится еще долго, но воздуха там не станет, если только их не сделать абсолютно герметичными, как космический корабль. Поэтому нет, человечество выжить не сможет.

Но Солнце просто так погаснуть не может. Давайте рассмотрим пару вариантов "погасания Солнца".

1. Допустим, что закончилось термоядерное топливо -- водород. Что будет дальше? Снаружи -- пока никто ничего не заметит, тепловая инерция Солнца огромна и на его охлаждение потребовались бы тысячи лет. Но не все так просто. Солнце представляет собой облако газа, которое стремится схлопнуться в точку за счет гравитационного притяжения. Но выделяющаяся в его недрах тепловая энергия мешает сжатию. Как только она перестанет выделяться, Солнце начнет сжиматься, а недра еще больше разогреваться, несмотря на прекращение нагрева. Остановит сжатие две вещи: образование вырожденного газа и то, что "загорится" уже не водород, а гелий. И результатом станет не замерзание Земли, а напротив, ее сожжение: светимость Солнца возрастет в десятки раз, оно превратится в красного гиганта, который поглотит Меркурий, а возможно и Венеру с Землей. Представить выживание человечества в этом случае довольно сложно, разве что оно переселится на Марс и спутники Юпитера.
2. Солнце захватит гипотетический объект -- ЧД диаметром порядка метра и планетарной массы. После нескольких витков с пролетом сквозь солнечные недра такая мини-ЧД затормозится и окажется полностью скрыта в недрах Солнца. Процесс торможения будет сопровождаться частичным разрушением Солнца, а акреционный диск вокруг нее будет иметь светимость порядка еще одного Солнца. Такой мощный источник лучистой энергии за несколько дней, в течение которых будет существовать, повысит температуру поверхности Земли до нескольких сотен градусов. А затем... затем произойдет взрыв, подобный Сверхновой, но меньшего масштаба. Затормозившаяся внутри звезды ЧД начнет быстро расти, а энерговыделение при акреции быстро, за несколько минут, превысит обычное на несколько порядков. Поток энергии в виде жесткого рентгеновского и гамма-излучения создаст в газе ударную волну, которая "сдует" оставшееся вещество Солнца, которое образует впоследствии характерную волокнистую туманность. От Земли после этого мало что останется -- она будет испарена мощным излучением.

В обоих случаях никакой речи о замерзании Земли идти не будет.

Солнце не погаснет, потому что оно -точка концентрации СВЕТА сознания и разума. Пока будет жив хоть один человек, будет светить и Солнце. Так что беспокоится не о чем.

На эту тему есть замечательный фантастический роман Бегство Земли Франсиса Корсака. Советую.

P.S. Удивительно то, что этот французский автор, бывший очень популярным в СССР на английский язык не переводился и соответственно англоязычным читателям почти не известен.