Первоначально проблем было две:
Турция (и вассальный ей Крым) закрывали России путь к Черному морю; в свою очередь, Османская империя 16-начала 18 веков была довольно воинственной и стремилась расширять свои владения.
Вассал Турции - Крымское ханство - совершало регулярные набеги на русские земли; с другой стороны, запорожские казаки формальные подданные русского царя, отвечали им тем же.
Далее, с ростом могущества России и превращения ее в Империю, сиятельными умами в Петербурге завладела идея восстановления Византийской империи. (напомню, что после падения Константинополя в 1453 году Москва считала себя "Третьим Римом" и наследницей Византии). Кроме того, черноморское побережье России было уязвимо перед действиями враждебных флотов (это подтвердилось в ходе Крымской войны 1853-56 года). Все это порождало необходимость, как ее понимали российские императоры и императрицы, установления контроля над Константинополем и проливами Босфор и Дарданеллы, а также, освобождения единоверных балканских народов, чьи земли в тот период входили в состав Османской Империи. Османы со своей стороны тоже не отставали, грезя присоединением к своей империи территорий Российской империи с мусульманским населением - речь идет о Закавказье (с проживающими там христианскими армянами и грузинами у турок были плохие отношения, а вот азербайджанцев они считают своими), Северном Кавказе и Поволжье.
Так что, резюмируя все вышесказанное - каждая из сторон имела территориальные аппетиты, которые надеялась удовлетворить за счет второй. Нередкая ситуация в мировой истории.
arzamas.academy идея о Москве - третьем Риме гораздо более поздняя, она только в 19 веке стала заметной идеей.
Россия и Турция никогда по собственной инициативой не воевали, их просто столкнули, Франция и велико Британия.