В данный момент пересаживают только часть глаза, его прозрачную оболочку - роговицу (операция называется сквозная кератопластика).
Возможно это потому что в ней нет кровеносных сосудов и нет реакции отторжения.
Такие операции проводятся при помутнениях роговицы или кератокоунсе (её истончении и выпячивании).
Если пересаживать глаз целиком, возникают 2 проблемы:
Невозможно состыковать нервные волокна в зрительном нерве (которые являются отростками клеток сетчатки).
Возникает реакция отторжения ("трансплантат против хозяина"), т.к. глаз - достаточно хорошо кровоснабжаемый орган.