Снятся. На бытовом уровне об этом можно судить по характерному "бегущему" подёргиванию лап, которое иногда возникает у разных животных при неглубоком сне. Хозяева собак ещё знают, что собаки во сне могут потявкивать, по видимому, когда им снится что они кого-то облаивают.
Если говорить о научных исследованиях сна животных, то в 2001 году в журнале Neuron была опубликована статья учёных Кенвея Луиса и Мэттью Вильсона (Kenway Louie and Matthew Wilson), которые изучали энцефалограмму с электродов, вживлённых в гиппокамп в мозгу крыс. Изучались две энцефалограммы: одна снималась во время прохождения лабиринта (за которое крысы получали пищевое вознаграждение), а другая во время быстрой фазы сна, когда подопытные животные спали. Оказалось, что примерно в половине случаев эти энцефалограммы совпадают. Настолько, что учёные даже могли точно сказать, какой участок лабиринта снится крысе в конкретный момент времени. nytimes.com
Конечно, да, видят. Подсмотреть мы не можем, но в их мозге по объективным исследованиям происходит тоже самое (вид активности) как и у нас, когда мы видим сны. И другие проявления такие же (движения глаз, подергивания конечностей).
А вот насекомые -- нет: https://thequestion.ru/questions/79179/vidyat-li-sny-nasekomye
Да. Распознаётся по движению глаз под веками, в науке называют "быстрое движение глаз". Моему котику часто что то снится, то он бежит куда то, перебирая лапками, то мычит, пытаясь что то промяукать, а может резко ни с того ни с сего проснуться. Ещё интересно, когда засыпает- дергает лапкой, как будто оступился или провалился.
Снятся. Когда нам снится, что мы двигаемся, то мы почему-то не двигаемся, а лежим. Этому препятствует определённый механизм в нашем мозге. Его можно отключить. Так вот, в ходе эксперимента этот механизм отключали у кошки (аккуратным хирургическим вмешательством в мозг): кошка во сне бегала, охотилась, ела, занималась сексом. Так что, да, животным снятся сны.