В чём заключается сущность числа Пи?
Задумался я тут над числовыми множествами и вдруг запутался. Вот нам известно, что Число Пи – это иррациональное число. Ещё нам известно, что число Пи является отношением длины окружности к её диаметру. То есть мы по сути делим два числа. И вот тут мне стало непонятно: откуда у нас берётся иррациональность у Пи, если при делении рациональных чисел у нас всегда должно получаться рациональное число. Получается, что длина окружности и её диаметр – это всегда иррациональные числа? Но в таком случае, откуда тогда мы смогли получить такое точное значение числа Пи, если при иррациональности диаметра и длины, мы никогда не смогли бы так точно вычислить это значение?
У вас заключается ошибка в предположении о рациональности обоих величин.
На самом деле, рациональным из них может быть только одно - либо длина окружности, либо диаметр. Либо оба иррациональны. Если диаметр рациональные 3 см, то длина окружности 3*Пи - иррациональна.
По поводу вычислений - долгое время математики вычисляли число Пи, скажем так, геометрически - то есть банально делая замеры и какие-то преобразования нарисованной фигуры.
С пятнадцатого века, когда математика начала изучать бесконечные ряды, стали изучать "далёкие" цифры этого числа (то есть, больше десяти цифр после запятой). Делалось это методом проб и ошибок. Какой-нибудь математик подобрал формулу. Прошло несколько лет - другой математик доказал, что на двадцатой цифре прошлая формула ошибается и предложил свою, которая на двадцатой цифре точная. Только в восемнадцатом веке математика развилась до такого уровня, что смогла доказать ряд формул (а именно, формул, связанных с бесконечными рядами), в которых задействовано число Пи (и из которых его можно вычислить).
Например, Базельская проблема, решённая величайшим Леонардом Эйлером.
Из неё можно вычислить точно значение числа Пи с любой требуемой точностью. Если потратить пару или больше лет с ручкой в руке за вычислениями. С появлением компьютеров вопрос вообще перешёл в стадию "найти формулу, которая займёт наименьшее количество оперативной памяти" - тысяча знаков? миллион? миллиард? Да не вопрос, дайте компьютер помощнее и всё будет. На персональных компьютерах, например, используется формула братьев Чудновских:
А в целом, сейчас число Пи вычисляется, что называется "для понтов" - просто чтобы проверить вычислительные мощности компьтера, например. Практической ценности в записи хотя бы пятидесяти знаков после запятой уже нет абсолютно никакой.
Число Пи является константой, аналогичной постоянной Планка, гравитационной постоянной и т.п. Но пока ни кто не ответил на вопрос, что это такое... Очень бы хотелось услышать компетентное мнение по этому вопросу.