Во-первых, надо различать частную собственность и личную собственность. Во-вторых, в СССР не было лишь частной собственности на средства производства (заводы, фабрики и т.д.)
В остальном она вполне себе была.
А запрещено было иметь в частной собственности средства производства лишь потому, что это неизбежно ведет к эксплуатации человека человеком (как при капитализме), когда владелец (собственник) средств производства использует чужой труд для личного обогащения за счет других.