Задание 10. Задачи с прикладным содержанием: все задания
Ответом к заданию по математике может быть целое число, конечная десятичная дробь (записывайте её через запятую, вот так: 2,5) или последовательность цифр (пишите без пробелов: 97531).
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает двигаться со скоростью (м/с), где кг — масса скейтбордиста со скейтом, а кг — масса платформы.
Под каким максимальным углом нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до м/с? Ответ дайте в градусах.
Показать разбор и ответ
Подставим данные задачи в указанную формулу: , откуда что соответствует углу Если значение то что соответствует меньшему, чем углу.
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону , где (мг) — начальная масса изотопа, (мин.) — время, прошедшее от начального момента, (мин.) — период полураспада.
В начальный момент времени масса изотопа мг. Период его полураспада мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна мг?
Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте метров над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии км?
Выехав из города со скоростью км/ч, мотоциклист начинает разгоняться с постоянным ускорением км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением , где (ч) — время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста из города. Через сколько минут мотоциклист доберётся от границы города до автозаправочной станции, расположенной в км от города?
Показать разбор и ответ
Из условия задачи:
,
Дискриминант ; корни , , (не удовлетворяет условию задачи).
Таким образом, мотоциклист доберется до точки назначения через минут.
Зависимость амплитуды колебаний маятника от частоты вынуждающей силы определяется
по формуле , где — частота вынуждающей силы (в с), — постоянный параметр, c — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем
на .
Ответ выразите в с.
Показать разбор и ответ
Сразу раскроем модуль в знаменателе дроби. В задаче требуется найти частоту , меньшую
резонансной частоты , поэтому и выражение под модулем положительно. Значит,
знак модуля можно просто убрать: . Числитель дроби не зависит от . При . Когда частота растёт и стремится к , знаменатель дроби уменьшается и амплитуда неограниченно растёт.
В задаче требуется, чтобы амплитуда превосходила величину не более чем на , то есть к должно прибавляться не больше чем — в таких задачах удобнее пользоваться обыкновенными дробями. Значит, не должна превышать . Чтобы
найти точное значение наибольшей допустимой частоты , решим уравнение:
,
,
,
,
,
Значит, c.
Ответ: 546
Это задание составили эксперты GetAClass специально для Яндекса
Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 26% пользователей.
Помещённый в сосуд газ резко сжимают поршнем. При этом объём и давление газа связаны соотношением , где — давление газа в атмосферах (атм), — его объём в кубических сантиметрах (см). Исходный объём газа равен см, а его давление равно атмосфере. Поршень насоса выдерживает давление не более атмосфер. До какого минимального объёма можно сжать газ?
Ответ выразите в кубических сантиметрах.
Показать разбор и ответ
При уменьшении объёма давление должно расти, чтобы произведение оставалось
постоянным. Поэтому наименьший допустимый объём соответствует максимальному давлению атм. Перепишем зависимость в виде , где начальное давление атм и начальный объём см нам известны. Чтобы избавиться от дробных степеней, возведём обе части равенства в пятую степень и преобразуем получившееся выражение:
,
,
,
см.
Ответ: 25
Это задание составили эксперты GetAClass специально для Яндекса
Это задание решали 743 раза. С ним справились 53% пользователей.
В дне высокого цилиндрического бака с водой имеется кран. Кран открывают, и вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где м — начальный уровень воды, м/мин и м/мин ― постоянные, — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Через сколько минут вода полностью вытечет из бака?
Показать разбор и ответ
Сначала подставим в формулу квадратичной функции все данные из условия задачи. Получается . Вода полностью вытечет из бака, когда уровень воды в нём понизится до нуля. Чтобы определить этот момент, решим квадратное уравнение:
,
,
,
.
Ответ: 10
Это задание составили эксперты GetAClass специально для Яндекса
Это задание решали 976 раз. С ним справились 77% пользователей.
В процессе движения по взлетно-посадочной полосе самолет должен разогнаться из состояния покоя до скорости отрыва от земли. При этом он движется по закону равноускоренного движения: , где — начальная скорость, — ускорение, а и — соответственно скорость и пройденный путь по истечении некоторого промежутка времени. Определите, какую скорость приобрел самолет в момент отрыва от земли, при условии, что он двигался с ускорением м/с , а длина разбега составила м.
Выразите ответ в км/ч.
Показать разбор и ответ
С учетом того, что самолет разгоняется из состояния покоя и , закон равноускоренного движения можно преобразовать следующим образом: . Отсюда м/с (исходя из физического смысла не может принимать отрицательные значения). Переведем скорость в км/ч:
м/с км c км/ч.
Ответ: 270
Это задание составили эксперты УЦ Годограф специально для Яндекса
Это задание решали 3 тыс. раз. С ним справились 35% пользователей.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением км/ч. Скорость (в км/ч) вычисляется по формуле , где — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.
Показать разбор и ответ
Выразим пройденный путь из данной формулы.
Следовательно
.
Ответ: 0,9
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
Это задание решали 6 тыс. раз. С ним справились 65% пользователей.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением км/ч. Скорость (в км/ч) вычисляется по формуле , где — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости км/ч.
Показать разбор и ответ
Выразим пройденный путь из данной формулы.
.
Следовательно, .
Ответ: 0,8
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 62% пользователей.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: , где — время в минутах, K, К/мин, К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1550 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Показать разбор и ответ
Подставим данные и решим уравнение:
Из двух полученных значений возьмем меньшее, т.к. после минут прибор испортится и, хотя в минут температура опять будет градусов, прибор уже будет испорчен (лучше брать формулировки из задания).
Ответ: 5
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
Это задание решали 5 тыс. раз. С ним справились 43% пользователей.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: , где — время в минутах, К, К/мин, К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Показать разбор и ответ
Подставим данные и решим уравнение:
Из двух полученных значений возьмем меньшее, т.к. после минут прибор испортится и, хотя в минут температура опять будет градусов, прибор уже будет испорчен.
Ответ: 6
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 47% пользователей.
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Нм), определяется формулой , где А — сила тока в рамке, Тл — значение индукции магнитного поля, м — размер рамки, — число витков провода в рамке, — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции.
При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент был не меньше Нм?
Показать разбор и ответ
Решим неравенство: .
,
,
.
Наименьшим значением угла, который является решением неравенства, будет .
Ответ: 30
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 58% пользователей.
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Нм), определяется формулой , где A — сила тока в рамке, Тл — значение индукции магнитного поля, м — размер рамки, — число витков провода в рамке, — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции.
При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент был не меньше Нм?
Показать разбор и ответ
Решим неравенство: .
,
,
.
Наименьшим значением угла, который является решением неравенства, будет .
Ответ: 30
Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса
Это задание решали 4 тыс. раз. С ним справились 63% пользователей.