Задание 18. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами: все задания

Версия для печати

31. Задание#T2574

В прямоугольном треугольнике

из произвольной точки катета

опущен перпендикуляр

на гипотенузу

. Площадь треугольника

равна .

Найдите площадь треугольника

Показать разбор и ответ

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 60% пользователей.

32. Задание#T2573

Найдите периметр трапеции

по данным рисунка.

Показать разбор и ответ

Рассмотрим четырехугольник

. Следовательно,

– параллелограмм.

является прямоугольником. А так как его смежные стороны равны, то прямоугольник

– квадрат.

Поэтому,

Треугольники

– прямоугольные. Найдем неизвестные в них элементы по теореме Пифагора.

Ответ: 66

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 51% пользователей.

33. Задание#T2539

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

$Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.$

Сторону клетки считать равной см.

Показать разбор и ответ

1 способ

Найдем площадь треугольника по формуле

Подсчитаем по клеточкам длину основания и длину высоты, проведенной к основанию.

Имеем:

Значит,

2 способ

Вычислим площадь прямоугольника по формуле Пика:

, где В – количество внутренних точек, Г – количество точек, находящихся на границе многоугольника (на рисунке В – красные точки, Г – синие)

Видим, что

Тогда

Ответ: 10

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 3 тыс. раз. С ним справились 56% пользователей.

34. Задание#T2522

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Показать разбор и ответ

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 54% пользователей.

35. Задание#T2501

Две стороны равнобедренного треугольника равны и , а две его высоты равны

и .

Найдите площадь треугольника.

Показать разбор и ответ

Рассмотрим равнобедренный треугольник

с основанием

. Проведем в нем высоты

Высоты, указанные в условии, не могут быть высотами, проведенными из углов при основании. В условии указаны неравные числа, а

как соответствующие стороны в равных треугольниках

(прямоугольные треугольники

равны по гипотенузе и острому углу).

Пусть боковая сторона треугольника будет , а основание , тогда высота

, а

(к большей стороне проводится меньшая высота и, наоборот, к меньшей стороне проводится большая высота).

Найдем площадь треугольника по формуле

Тогда

или

Примечание. Если в качестве основания мы возьмем отрезок , а боковая сторона будет , ответ в задаче не изменится, так как к большей стороне проводится меньшая высота и, наоборот, к меньшей стороне проводится большая высота.

Ответ: 12

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 63% пользователей.

36. Задание#T2500

Найдите площадь описанного около окружности радиуса

четырёхугольника

, если

Показать разбор и ответ

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 1 тыс. раз. С ним справились 64% пользователей.

37. Задание#T2483

Основания равнобедренной трапеции равны и . Тангенс одного из углов равен

. Найдите площадь трапеции.

Показать разбор и ответ

Заметим, что тангенс угла отрицательный, значит угол тупой. Пусть это будет угол .

Углы и – односторонние при пересечении параллельных прямых

секущей

. Значит, их сумма равна

. Поэтому

По формулам приведения

. Следовательно,

Проведем в трапеции высоты

Прямоугольные треугольники

равны по гипотенузе и острому углу (

, так как трапеция

– равнобедренная). Значит,

– прямоугольник, поэтому

. По условию

По условию

В прямоугольном треугольнике

, так как по определению тангенса

Следовательно,

Площадь трапеции находится по формуле

Итак,

Ответ: 22,5

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 2 тыс. раз. С ним справились 37% пользователей.

38. Задание#T2466

Диагональ

ромба

равна

, а угол при вершине равен

Найдите площадь треугольника

Показать разбор и ответ

Для вычисления площади воспользуемся формулой

Сумма соседних углов параллелограмма (а ромб – это параллелограмм) в сумме составляют

, следовательно,

Стороны ромба равны, поэтому треугольник

– равнобедренный. Обозначим за длину боковой стороны

Запишем для этого треугольника теорему косинусов.

;

Решим это уравнение.

;

или

Поскольку за обозначена длина стороны треугольника, то

Ответ: 0,25

Это задание взято из Яндекс.ЕГЭ

Это задание решали 6 тыс. раз. С ним справились 19% пользователей.

39. Задание#T2449

Диагонали ромба равны и

Найдите его площадь.

Показать разбор и ответ

1 аналогичное задание

Решение 1. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, то ромб состоит из четырех одинаковых прямоугольных треугольников с катетами