Есть ли какие-либо фундаментальные свойства материи, которые нельзя рассматривать как форму энергии?

Материя, с точки зрения классической физики, это всё, что имеет массу и локализацию в пространстве. Закона сохранения материи не существует. Материя может переходить в излучение (энергию). Например, выходом реакции аннигиляции электрон-позитронной  пары (e⁺e⁻) являются 2 фотона (e⁺ + e⁻ ⟶ 2γ). Таким образом, удвоенная масса электрона трансформировалась в излучение (энергию). Другой пример — каждую секунду в ядре Солнца в результате термоядерного горения 600 млн Тонн ядер водорода синтезируются 596 млн Тонн ядер гелия. Разница в массах (4 млн Тонн в секунду) вот уже более 4.5 млрд лет  греет (излучается в виде энергии во) Вселенную, и нас в том числе. 

Энергия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи. Закон сохранения энергии — один из фундаментальных законов нашей Вселенной. Хотя энергия и мера, эталона энергии в Международном бюро мер и весов в Париже. не существует, так как энергия не имеет ни формы, ни локализации в пространстве. Эталон массы (1 кг) там есть.

Связь между массой (m) и энергией (E) линейная и коэффициентом пропорциональности является квадрат скорости света (E = mc²). Но физики народ достаточно ленивый и, чтобы облегчить жизнь, используют Планковскую систему единиц, где c = ħ = G = 1. Это сильно упрощает формулы, но запутывает дилетантов мыслью, что энергия равна массе. Для физика это такая же чушь, как если бы из Ньютоновского F = ma, сделать вывод, что сила равна ускорению при m = 1. 

Вопрос же первичности материи или энергии пока скрыт в Планковской эпохе рождении Вселенной и по-видимому будет решён только в рамках квантовой гравитации. 

Послесловие. Фразы: "материя форма энергии", "энергия - свойство материи", "материя первична …", к физике не имеют отношения.

В нашем мире есть только, пространство и материя. А форма существования материи - движение. Всё остальное , вторично. В том числе и энергия. Это такая же мера движения, как время, как, пройденное при движении, расстояние. Можно сказать:  происходит кругооборот движения во вселенной. 

Несомненно есть. Все свойства, "расположенные" ниже "планковских величин". В этих условиях ни какие свойства "материи" нельзя рассматривать как "форму энергии".

Энергия не имеет форм. Материя бесчисленна в проявлениях форм. Это только в наших пониманиях на данное время.  Фундаментальные свойства материи. Что это? Есть нефундаментальные? Проявления, свойства и форма, это очень разное. Автор, по моему, слегка пошутил.

Физика зашла в тупик с момента формулировки закона сохранения энергии, а Эйнштейн забил последний гвоздь в крышку гроба физики. Правильный закон это закон сохранения материи. Материя не исчезает и не возникает вновь, а переходит из одной формы в другую с выделением или поглощением энергии. Хотите знать больше? Читайте Веды, кстати запрещенные у нас законом.